Question

如图所示，在三角形ABC中，AB=AC，D是BC上的中点，AE平分角BAD交BC于点E，点O是AB上的一点，圆O过AE两点，

如图所示，在三角形ABC中，AB=AC，D是BC上的中点，AE平分角BAD交BC于点E，点O是AB上的一点，圆O过AE两点，交AD于点G，交AB于点F
求证（1）BC与圆O相切
（2）当DE=4 AG=6时 ，求○O的半径

Answer 1

1）证：AE平分∠BAD，∠DAE=∠BAE；⊙O过A、E两点，OA=OE，∠OAE=∠OEA；
于是∠OEA=∠OAE=∠BAE=∠DAE，得OE平行AD；
AB=AC，D是BC中点，AD垂直BC；得OE垂直BC，故BC与⊙O相切；
2）解：点O是AB上一点，得AF为⊙O的直径，得△AGF和△AEF为直角三角形；
且知∠GAE=∠EAF=30°，∠GAF=60°从而计算得∠GFA=30°，∠EFA=60°，
得∠EFG=30°

Answer 2

（1）证明：因为圆O过AE，所以OA=OE，所以∠OAE=∠OEA，
又因为AE平分∠BAD,所以∠OAE=∠DAE 所以 ∠OEA=∠DAE
所以AD//OE,又因为D为BC中点，AB=AC 所以AD垂直BC 所以OE也垂直BC
所以圆O与BC相切。