Question

在等边三角形ABC中,点E是AB上的一个动点,点D在CB延长线上,ED=EC。当点E不是AB中点时，AE=BD的结论是否成立

请说明理由。证明

Answer 1

成立
过E作EF平行BC，交AC于F
则根据题意有：AE==AF=EF，BE=CF
因为DE=EC
所以角D=角ECD
又角DEB+角D=60度，角ECD+角ECF=60度
所以角DEB=角ECF
又ED=EC，BE=CF
所以三角形BED全等三角形FCE
所以BE=EF
所以AE=BD

Answer 2

过E作EF∥AC交BC于F。
∵EF∥AC，∴△ABC∽△EBF，而△ABC是等边三角形，∴△EBF也是等边三角形，
∴BE＝BF＝EF、∠EBF＝∠EFB＝60°，∴∠EBD＝∠EFC＝120°。

∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，又BE＝BF，∴AE＝CF。
∵DE＝CE，∴∠BDE＝∠FCE，结合证得的∠EBD＝∠EFC、BE＝FE，得：△DBE≌△CFE，
∴DB＝CF，结合证得的AE＝CF，得：AE＝DB。