Question

泊松分布和指数分布的矩母函数

请附上详细的求解过程

Answer 1

　　矩量母函数的定义为：

　　连续随机变量X的矩量母函数为：Mx(t)=E(exp(tx))=∫exp(tx)*f(x)dx,其中积分下限为-∞，上限为+∞，f(x)为X的概率密度函数(Probability Density Function, 简称PDF)。

　　离散型随机变量X的矩量母函数为：Mx(t)=E(exp(tx))=∑exp(tx)*p(x),其中连加号代表所有X的取值(-∞,+∞)连加，p(x)为X的概率分布函数(Probability Mass Function, 简称PMF)。

　　矩量母函数存在当且仅当上述积分(连加)极限存在。

　　性质：

　　以连续随机变量X为例，离散型随机变量可做相同变换

　　1.由泰勒级数exp(x)=1+x+x^2/2!+....+x^n/n!+..., Mx(t)=∫(1+tx+(tx)^2/2!+....+(tx)^n/n!+...)*f(x)dx=1+t*M1+t^2/2!*M2....+t^n/n!*Mn, 其中Mi是X的第i阶矩。

　　2.Mx(-t)是双侧拉普拉斯变换(Laplace Transform)。

　　3.不管概率分布是不是连续，矩量母函数都可以用黎曼-斯蒂尔吉斯积分给出：

　　Mx(t)=∫exp(tx)dF(x),其中F(x)是积累分布函数(Cumulative Distribution Function, 简称CDF)。积分下限为-∞，上限为+∞。

　　意义编辑

　　只要矩量母函数在t=0周围的开区间内存在，X的第i阶矩即为矩量母函数在0点的第i阶导数值。

　　即E(x^n)=d^n(Mx(t))/dt^n|t=0

　　证明：