Question

如图，已知抛物线方程为y2=8x （1）在线L过抛物线的焦点F且垂直与x轴，L与抛物线交于A，B两点，求/AB/...

如图，已知抛物线方程为y2=8x
（1）在线L过抛物线的焦点F且垂直与x轴，L与抛物线交于A，B两点，求/AB/；
（2）直线L1过抛物线的焦点F，且倾斜角为45°，直线L1与抛物线相交于C，D两点，O为原点求三角形OCD的面积。

Answer 1

已知抛物线方程为y²=8x
（1）在线L过抛物线的焦点F且垂直与x轴，L与抛物线交于A，B两点，求∣AB∣；
（2）直线L₁过抛物线的焦点F，且倾斜角为45°，直线L₁与抛物线相交于C，D两点，O为原点求三角形OCD的面积。
解：(1)。抛物线参数：2p=8，p=4，p/2=2，焦点F(2，0)；准线x=-2.
令x=2，代入抛物线方程得y²=16，故y=±4，即∣AB∣=8；
(2)。过焦点F且倾角为45°的直线L₁的方程为y=x-2，代入抛物线方程得(x-2)²=8x，
即有x²-12x+4=0；
设C(x₁，y₁)，D(x₂，y₂)；则x₁+x₂=12；x₁x₂=4；y₁+y₂=x₁-2+x₂-2=(x₁+x₂)-4=12-4=8
∣CD∣=√{2[(x₁+x₂)²-4x₁x₂]}=√[2(12²-16)]=√256=16
△OCD的面积=(1/2)∣OF∣∣CD∣sin45º=(1/2)×2×16×(√2/2)=8√2.