Question

一道数列题啊~

已知二次函数f(x)=x^2-ax+a(a>0,x∈R）有且只有一个零点，数列{an}前n项和Sn=f(n) 设bn=an/3^n,求{bn}的前n项和Tn.

Answer 1

解：
∵二次函数f(x)＝x^2－ax＋a(a＞0，x∈R)有且只有一个零点
即方程x^2－ax＋a＝0有且只有一个解
∴Δ＝(－a)^2－4a＝0
解得a＝4或a＝0(舍去)
∴f(x)＝x^2－4x＋4
∵数列{an}前n项和Sn＝f(n)
∴Sn＝n^2－4n＋4
当n≥2时，an＝Sn－S(n－1)＝2n－5
当n＝1时，a1＝S1＝1^2－4×1＋4＝1
∴an＝
{1 (n＝1)
{2n－5 (n≥2)

用错位相减法求数列前n项和
Tn＝(1/3)＋[(－1)/(3^2)]＋[1/(3^3)]＋[3/(3^4)]＋……＋[(2n－7)/(3^(n－1))]＋[(2n－5)/(3^n)] ①
∴1/3Tn＝[1/(3^2)]＋[(－1)/(3^3)]＋[1/(3^4)]＋[3/(3^5)]＋……＋[(2n－7)/(3^n)]＋[(2n－5)/(3^(n＋1))] ②
①－②，得：
2/3Tn＝(1/3)－[2/(3^2)]＋2[(1/3^3)＋(1/3^4)＋……＋(1/3^n)]－[(2n－5)/( 3^(n＋1) )]
∴Tn＝1/3－[(n－1)/(3^n)]