Question

矩阵的证明

设A，B分别为n阶Hermite正定矩阵和非负定矩阵，证明：tr(AB)=0的充分必要条件是B=0

Answer 1

充分性显然
必要性可以用tr(AB)=tr(CBC)=0来得到，其中C=C^T=A^{1/2}

追问

你的必要性说的不明白，为什么tr(AB)=tr(CBC)=0就能说明B=0！麻烦说的详细一点！谢谢！

追答

CBC=CBC^T，这相当于对B做合同变换

追问

为什么tr(AB)=tr(CBC^T)，A^{1/2}如何计算？谢谢

追答

先做谱分解A=QDQ^H，Q是酉阵，D是实对角阵
然后C=QD^{1/2}Q^H，D^{1/2}就是对D的对角元开算术平方根
tr(AB)=tr(CCB)=tr(CBC)，这个不用解释了吧
我最开始以为A和B是实阵，所以之前写的C^T都要改成C^H

追问

CCB=CBC是怎么来的？？为什么tr(CBC)=0就能说明B=0，麻烦了！

追答

"CCB=CBC是怎么来的"

我没说CCB=CBC，我只说tr(CCB)=tr(CBC)

"为什么tr(CBC)=0就能说明B=0"

惯性定理

你的问题在于连那些最基本的结论都不知道/不会用，应该先去复习基础知识