Question

在数学分析里面关于一致连续性定理的问题

1）f（x）在区间I上一致连续，必有f（x）在I上连续 ，反之不然
2）f（x）在闭区间[a，b]上连续，那么f（x）在闭区间[a，b]上一致连续
为什么区间和闭区间之间的差那么远

Answer 1

其实差的也不远，比如有界开区间(a,b)上一致连续的函数只要满足f(x)在(a,b)上连续，且f(a+)和f(b-)都存在即可。由此也可以看出，闭区间和开区间之间的差别很重要的一点就体现在f(a+)和f(b-)的存在性不同上。还可以多说一点就是，在R^n上定义的集合中，有一种特殊的性质称为紧性，只有R^n中的有界闭集才具有紧性，而具有紧性的集合有很多很好的性质，这就使得R^n中的有界闭集显得地位特殊，显然R1中的闭区间是有界闭集，因此它具有许多开区间和无界区间所没有的性质。