Question

高中数学 设z=kx+y其中实数x,y满足 x+y-2大于等于0 x-2y+4大于等于0

这个解析中 以k=-1/2为界讨论 我不太明白为什么以k=-1/2为界讨论 -1/2是怎么求出来的 求详细解释 谢谢！

Answer 1

z是y=-kx+z与纵轴相交的截距。因为最大值是12，即过（0,12）点，计算（0,12）与（4,4）连线的斜率，就知道为什么了。而且，应该是1/2，因为直线的斜率是-k。有一个定理：使目标函数取最值的点必在凸区域的定点处取得，所以，作为一个填空题，找到相交的点代入kx+y<=12，先取交集，得到k<=2，然后能取到最值，得到k=2.

追问

没明白 求详解

追答

将z=kx+y变形，得到y=-kx+z，-k是斜率，z是直线y=-kx+z与纵轴相交的截距。题目中最大值是12，即此直线过（0,12）点，以过（0,12）且与可行域相交做直线簇，找斜率是多少能够满足最大值是12这个条件。对于可行域，其交点最为特殊，所以，一般是在交点或者边界部分取到最值。-1/2是目标函数直线z=kx+y的斜率-k。所以正确的按k分类应当以1/2为标准。-1/2是最值点（0,12）与A（4,4）连线的斜率，

过A点做直线簇，同过C点做直线簇相比，斜率相同时，过A点直线的截距总比过B点直线的截距大，而连接A点和（0,12），比此斜率-1/2大的直线小的无论过A点，还是B点的直线的截距总比12最大值小，也就是说，不能到达最大值，但是比此斜率大的就可能满足条件，所以要分开讨论。又因为过C点（C点就在Y轴上）的直线截距为定值2（舍去）。

追问

根据解析当k小于等于-1/2的时候 目标函数在x=0时，y=2时取得最大值，这个为什么 根据图来看 即使k小于等于-1/2，也是在A(4，4)处取得最大值的？

追答

首先，z是直线y=-kx+z（注意：斜率是-k）与纵轴相交的截距。当k小于等于-1/2的时候，直线的斜率-k是大于1/2的，不是图中的那条直线，图上画错了。把解析中的-1/2改成1/2，虚线改成关于y轴对称的地方就可以了。