Question

已知函数g(x)=1/(sinΦ*x)+lnx在[1,+∞)上为增函数,且Φ∈(0,派) f(x)=mx-(m-1)/x-lnx,m∈R

(2)若 f(x)-g(x)在[1,+∞)上为单调函数,求M取值范围 这个问题中，(f(x)-g(x))'怎么求？m/x的导数不是-1/x 么？怎么是m/x^呢？

Answer 1

解释：由于(1/x)'=-1/x²，所以m/x的导数是-m/x²。这是基本公式。
（1）g'(x)=-1/(sinΦ•x²)+1/x=(1/x)[1-1/(sinΦ•x)]
由于 g(x)在[1,+∞)上为增函数，所以当x≥1时，有g'(x)≥0，
即1-1/(sinΦ•x)≥0
由于Φ∈(0,π)，sinΦ>0
故sinΦ≥1/x
从而 sinΦ≥(1/x)max，x∈[1,+∞)
即 sinΦ≥1，所以 sinΦ=1，Φ=π/2
（2）g(x)=1/x+lnx，f(x)-g(x)=mx -m/x+1/x -lnx -1/x -lnx=mx -m/x-2lnx
[f(x)-g(x)]'=m+m/x² -2/x
由于f(x)-g(x)在[1,+∞)上为单调函数，可分两种情况。
①f(x)-g(x)在[1,+∞)上为增函数，则
m+m/x² -2/x≥0
m≥2x/(x²+1)
令 h(x)=2x/(x²+1)
从而m≥[h(x)]max，x∈[1,+∞)
而h(x)在[1,+∞)上为减函数
所以 m≥h(1)=1
②f(x)-g(x)在[1,+∞)上为减函数
m+m/x² -2/x≤0
m≤2x/(x²+1)
而h(x)=2x/(x²+1)在[1,+∞)上为减函数
所以 m≤0
m的取值范围是m≤0或m≥1

Answer 2

M≤0或M≥1