Question

如图,已知AC=BC,AC⊥BC,AE平分∠BAC,∠CDA=45°,求证AD⊥BD

用全等做

Answer 1

证明：

过C点作FC⊥CD，交AD于F

∵∠CDA=45°

∴△CDF是等腰直角三角形

∴CF=CD；∠ECF+∠BCD=∠DCF=90°

∵AC⊥BC

∴∠ECF+∠ACF=∠ACB=90°

∴∠ACF=∠BCD

又∵AC=BC

∴△ACF≌△BCD（SAS）

∴∠CAF=∠CBD

∵在△ACE和△BDE中

∠CAE=∠DBE（已证）；∠AEC=∠BED（对顶角相等）

∴∠BDE=∠ACE=90°

即AD⊥BD

Answer 2

用四点共圆证明，全等麻烦。
先证明ABCD四点共圆：角ABC=角ADC
（把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，从而即可肯定这四点共圆）

所以，角ADB=角ACB