Question

设（X,Y）的联合密度函数为下图，求解。 大学概率论

Answer 1

1)明显不独立，y的取值被x约束，但是理由不会被老师认为合适，只是你自己看到可以心里有数

fx(x)=∫(0~x) 3x dy
=3x² (0<x<1)

=0其他

fy(y)=∫(y~1) 3x dx
=3x²/2 (y~1)
=3(1-y²)/2 (0<y<1)

=0(其他)

在原点和（1,1）之间的方形区域，fx*fy明显不等於f(x,y)
所以不独立

2)
先求
Fz(z)
=P(Z<z)
=P(X+Y<z)

当z<1时
=∫(0~z/2)∫(y~z-y) 3x dxdy
=∫(0~z/2) 1.5 ((z-y)²-y²) dy
=(1.5/3) (-(z-y)³-y³) | y(0~z/2)
=0.5(-(z/2)³-(z/2)³+z³)
=(1/2)(3/4)z³
=3z³/8

z>=1时
=1-∫(z/2~1)∫(z-x~x) 3x dydx
=1- 3∫(z/2~1) x(x-z+x) dx
=1- 3∫(z/2~1) x(2x-z) dx
=1- 3( 2x³/3-zx²/2 | (z/2~1))
=1-3(2(1-z³/8)/3-z(1-z²/4)/2)
=1-3(2/3-z³/12-z/2+z³/8)
=1-(2+z³/8-3z/2)
=3z/2-z³/8-1

fz(z)=F'z(z)=9z²/8 (0<z<1)

=3/2-3z²/8 (1<=z<2)

=0(else)