Question

已知函数y=x+2/x有如下性质:函数(0,2 1/2] 是减函数,

已知函数y=x+2/x有如下性质:函数(0,2 1/2] 是减函数,在[21/2 ,正无穷) 上是增函数

根据上述性质猜想函数y=x+a/x(a>0)在(0, 正无穷)上的单调性并证明

设常数c>4, 求函数f(x)=x+c/x (x大于等于1,小于等于2) 的最大值和最小值
已知函数y=x+2/x有如下性质:函数(0,根号2] 是减函数,在[根号2 ,正无穷) 上是增函数

根据上述性质猜想函数y=x+a/x(a>0)在(0, 正无穷)上的单调性并证明

设常数c>4, 求函数f(x)=x+c/x (x大于等于1,小于等于2) 的最大值和最小值

Answer 1

y=x+a/x(a>0)在（0，根号a）减，（根号a，正无穷）增，用定义法证明即可；
函数f(x)=x+c/x (x大于等于1,小于等于2) 的最大值为f(1)=1+c最小值为f（2）=2+c/2

追问

具体过程，谢谢

追答

求导更简单，
（1）法一：求导：f(x)=x+a/x(a>0),
f(x)‘=1-a/x^2
,当 0根号a时，f(x)‘>0 ,增
法2 定义法：.y=x+a/x(a>0)在(0,√a]递减,在[√a,+∞)递增
00,故为减函数
√a<x1<x2,,则y(x1)-y(x2)=(x1-x2)+(a*(x2-x1))/(x1*x2)=(a-x1*x2)(x2-x1)/(x1*x2)<0,故为增函数
（2) f(x)=x+c/x (x大于等于1,小于等于2)时，由第一问可知为减函数，故最大值为f(1)=1+c最小值为f（2）=2+c/2
注：该函数是NIKE函数也叫对钩函数，你可以百度知道一下啊，看看它的图像

Answer 2

已知函数y=x+2/x有如下性质:函数(0,根号2] 是减函数,在[根号2 ,正无穷) 上是增函数
根据上述性质猜想函数y=x+a/x(a>0)在(0, 正无穷)上的单调性并证明
设常数c>4, 求函数f(x)=x+c/x (x大于等于1,小于等于2) 的最大值和最小值
1.y=x+a/x(a>0)在(0,√a]递减,在[√a,+∞)递增
0<x1<x2<√a,则y(x1)-y(x2)=(x1-x2)+(a*(x2-x1))/(x1*x2)=(a-x1*x2)(x2-x1)/(x1*x2)>0,故为减函数
√a<x1<x2,,则y(x1)-y(x2)=(x1-x2)+(a*(x2-x1))/(x1*x2)=(a-x1*x2)(x2-x1)/(x1*x2)<0,故为增函数
2.f(x)=x+c/x (c>4)在[1,2]上,因为f(x)在(0,√c]上单调递减,且√c>2
故f(x)max=f(1)=1+c,f(x)min=f(2)=2+c/2
有不懂欢迎追问

Answer 3

猜想函数y=x+a/x(a>0)在(0, 正无穷)上的单调性并证明

第一问 y'=1-a/x^2,令y'=0，得x=sqrt(a),x<sqrt(a),y'<0,x>sqrt(a),y'>0,所以y在（0，sqrt(a))上单减，在（sqrt(a),+∞）
第二问，根据上述讨论，可知x在[1，2]上是单调递减的，在右端点取最小值，即y=4，在左端点取最大值y=5

Answer 4

(-~,-a^0.5),(a^0.5,+~)为增函数，（-a^0.5,0),(0,a^0.5)为减函数