线性代数的题目,跪求详细解答。
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分析:首先由λ=2是A的二重特征值,得出r(2E-A)=1,解出x和y,这样矩阵A就是完全已知的;然后求出A的特征值和相应的特征向量,根据可对角化的相关定理,由特征向量组成的矩阵P,就能满足P-1AP为对角形矩阵.
解答:解:
∵A有三个线性无关的特征向量,λ=2是A的二重特征值,
∴λ=2对应着两个线性无关的特征向量,
从而:特征方程|2E-A|X=0的基础解系有两个解向量,
则有:r(2E-A)=1,
又:2EA=
1 1 1
x 2 y
3 3 3
r2+xr1,r33r1
1 1 1
0 x2 xy
0 0 0
,
∴x-2=0,-x-y=0,
即:x=2,y=-2,
于是:A=
1 1 1
2 4 2
3 3 5
,
则A的特征多项式为:
|λEA|=
.
λ1 1 1
2 λ4 2
3 3 λ5
.
=(λ-2)2(λ-6),
解得A的特征值为:λ1=λ2=2,λ3=6,
下面求出对应特征值的特征向量:
①当特征值为2时,
解线性方程组|2E-A|X=0,
由于:2EA=
1 1 1
2 2 2
3 3 3
r2+2r1,r33r1
1 1 1
0 0 0
0 0 0
,
∴解得对应的特征向量为:
α1=(1,1,0)T,α2=(1,0,1)T,
②当特征值为6时,
解线性方程组|6E-A|X=0,
由于:
6EA=
5 1 1
2 2 2
3 3 1
1 0
1
3
0 1
2
3
0 0 0
,
∴解得对应的特征向量为:
α3=(1,2,3)T,
于是,令:P=(α1,α2,α3)=
1 1 1
1 0 2
0 1 3
,
则:P1AP=
2 0 0
0 2 0
0 0 6
.
点评:矩阵的特征值、特征向量的求法要非常熟悉;一个n阶矩阵A是否可以对角化,是看这个矩阵A是否有n个线性无关的特征向量.因此问题就是转化为求矩阵A的特征向量.
解答:解:
∵A有三个线性无关的特征向量,λ=2是A的二重特征值,
∴λ=2对应着两个线性无关的特征向量,
从而:特征方程|2E-A|X=0的基础解系有两个解向量,
则有:r(2E-A)=1,
又:2EA=
1 1 1
x 2 y
3 3 3
r2+xr1,r33r1
1 1 1
0 x2 xy
0 0 0
,
∴x-2=0,-x-y=0,
即:x=2,y=-2,
于是:A=
1 1 1
2 4 2
3 3 5
,
则A的特征多项式为:
|λEA|=
.
λ1 1 1
2 λ4 2
3 3 λ5
.
=(λ-2)2(λ-6),
解得A的特征值为:λ1=λ2=2,λ3=6,
下面求出对应特征值的特征向量:
①当特征值为2时,
解线性方程组|2E-A|X=0,
由于:2EA=
1 1 1
2 2 2
3 3 3
r2+2r1,r33r1
1 1 1
0 0 0
0 0 0
,
∴解得对应的特征向量为:
α1=(1,1,0)T,α2=(1,0,1)T,
②当特征值为6时,
解线性方程组|6E-A|X=0,
由于:
6EA=
5 1 1
2 2 2
3 3 1
1 0
1
3
0 1
2
3
0 0 0
,
∴解得对应的特征向量为:
α3=(1,2,3)T,
于是,令:P=(α1,α2,α3)=
1 1 1
1 0 2
0 1 3
,
则:P1AP=
2 0 0
0 2 0
0 0 6
.
点评:矩阵的特征值、特征向量的求法要非常熟悉;一个n阶矩阵A是否可以对角化,是看这个矩阵A是否有n个线性无关的特征向量.因此问题就是转化为求矩阵A的特征向量.
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