Question

线性代数的题目，跪求详细解答。

Answer 1

分析：首先由λ=2是A的二重特征值，得出r（2E-A）=1，解出x和y，这样矩阵A就是完全已知的；然后求出A的特征值和相应的特征向量，根据可对角化的相关定理，由特征向量组成的矩阵P，就能满足P-1AP为对角形矩阵．
解答：解：
∵A有三个线性无关的特征向量，λ=2是A的二重特征值，
∴λ=2对应着两个线性无关的特征向量，
从而：特征方程|2E-A|X=0的基础解系有两个解向量，
则有：r（2E-A）=1，
又：2EA＝
1 1 1
x 2 y
3 3 3
r2+xr1，r33r1
1 1 1
0 x2 xy
0 0 0
，
∴x-2=0，-x-y=0，
即：x=2，y=-2，
于是：A＝
1 1 1
2 4 2
3 3 5
，
则A的特征多项式为：
|λEA|＝
.
λ1 1 1
2 λ4 2
3 3 λ5
.
=（λ-2）2（λ-6），
解得A的特征值为：λ1=λ2=2，λ3=6，
下面求出对应特征值的特征向量：
①当特征值为2时，
解线性方程组|2E-A|X=0，
由于：2EA＝
1 1 1
2 2 2
3 3 3
r2+2r1，r33r1
1 1 1
0 0 0
0 0 0
，
∴解得对应的特征向量为：
α1＝(1，1，0)T，α2＝(1，0，1)T，
②当特征值为6时，
解线性方程组|6E-A|X=0，
由于：
6EA＝
5 1 1
2 2 2
3 3 1

1 0
1
3
0 1
2
3
0 0 0
，
∴解得对应的特征向量为：
α3＝(1，2，3)T，
于是，令：P=（α1，α2，α3）=
1 1 1
1 0 2
0 1 3
，
则：P1AP＝
2 0 0
0 2 0
0 0 6
．
点评：矩阵的特征值、特征向量的求法要非常熟悉；一个n阶矩阵A是否可以对角化，是看这个矩阵A是否有n个线性无关的特征向量．因此问题就是转化为求矩阵A的特征向量．

追答

建议去。。
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追问

谢谢！

还有第六题能看看吗？

追答

哦

好像不行

追问

好吧，我再问问