Question

已知椭圆x2/4+y2=1.设过定点M(0,2)的直线与椭圆交于不同的两点A,B且角AOB为锐角(O为坐标原点),求直线L的斜

Answer 1

设y=kx+2，代入椭圆方程：(1+4k^2)x^2+16kx+12=0。
判别式=256k^2-48-192k^2=64k^2-48>0，k^2>3/4，k<-√3/2或k>√3/2。
xA+xB=-16k/(1+4k^2)，xAxB=12/(1+4k^2)。
yAyB=k^2xAxB+2k(xA+xB)+4
=12k^2/(1+4k^2)-32k^2/(1+4k^2)+(4+16k^2)/(1+4k^2)
=(4-4k^2)/(1+4k^2)
向量OA*向量OB=xAxB+yAyB=12/(1+4k^2)+(4-4k^2)/(1+4k^2)=(16-4k^2)/(1+4k^2)>0
k^2<4，-2<k<2
所以，直线L的斜率的取值范围是(-2,-√3/2)U(√3/2,2)

Answer 2

设直线的方程为y=kx+2，代入椭圆方程，得
x²+4(kx+2)²=4
(1+4k²)x²+16kx-12=0
x1+x2=-16k/(1+4k²)，x1x2=-12/(1+4k²)
y1y2=(kx1+2)(kx2+2)=k²x1x2+2k(x1+x2)+4=-12k²(1+4k²)-32k²/(1+4k²)+4=-44k²/(1+k²)+4
由于角AOB为锐角，所以向量OA•OB>0，即x1x2+y1y2>0
-12/(1+4k²)-44k²/(1+k²)+4>0，14k²/(1+k²)<1，k²<1/13，-√13/13<k<√13/13