Question

数列求解

Answer 1

(1)当n=1时，S1=1/2*(a1²+a1)=a1，而a1>0，∴a1=1
当n≥2时，S(n-1)=1/2*[a(n-1)²+a(n-1)]
∴Sn-S(n-1)=1/2*[an²+an-a(n-1)²-a(n-1)]
而Sn-S(n-1)=an，∴1/2*[an²+an-a(n-1)²-a(n-1)]=an
∴[an+a(n-1)][an-a(n-1)-1]=0
而an>0，∴an+a(n-1)>0，∴an-a(n-1)-1=0
∴an-a(n-1)=1，为常数，∴数列an是以1为首项、1为公差的等差数列
∴an=1+(n-1)*1=n (n∈N+)
(2)bn=n*(1/2)^(n-1)
那么Tn=1*(1/2)^0+2*(1/2)^1+3*(1/2)^2+……+n*(1/2)^(n-1) ①
∴(1/2)*Tn=1*(1/2)^1+2*(1/2)^2+……+(n-1)*(1/2)^(n-1)+n*(1/2)^n ②
①-②，得：(1/2)*Tn=1*(1/2)^0+1*(1/2)^1+1*(1/2)^2+……+(1/2)^(n-1)-n*(1/2)^n
=1*[1-(1/2)^n]/[1-(1/2)]-n*(1/2)^n
=2-(2+n)*(1/2)^n
∴Tn=4-(n+2)*(1/2)^(n-1)
当n=1时，Tn最小，T1=1；而Tn=4-(n+2)*(1/2)^(n-1)<4
∴1≤Tn<4，∴存在正整数m=1

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