Question

已知函数f(x)=x2+2x+a/x,x∈[1，+∞）．

1：当a=4时，求函数f（x）的最小值
2：若对于任意在定义域上的x，都有f（x）＞0恒成立，试求实数a的取值范围

第一个问的答案1：当a=4时，f(x)=x+4/x+2 易知，f(x)在[1,2]是减函数，在（2，+∞）为
增函数 是怎么来的？？

Answer 1

(1).f(x)=(x^2+2x+a)/x=x+a/x +2
a=1/2 f(x)=x+1/2x+2 为对钩函数

当x=根号a时 f(x)min=2+根号2

(2). f(x)=(x^2+2x+a)/x=x+a/x +2

f(x)>0

x+a/x>-2
当a>=0时
f(x)是对钩函数 最小值是 x=√a 时
即 2√a >-2 因为√a >0 所以a∈[0,正无穷)时均成立

当a<0时

f(x)是一个增函数 最小值是x=1时
1+a>-2

所以a>-3 所以a∈(-3,0)

所以综上所述 a∈(-3,正无穷)

或者

因为f(x)=(x^2+2x+a)/x,x∈[1,正无穷)
f(x)>0
x^2+2x+a>0即可
(x+1)^+a-1>0

此时此函数满足x最小时成立即都可成立

x=1时 4+a-1>0

a>-3