Question

已知椭圆的中心在原点，焦点为F1（0，-2根号2），F2（0,2根号2），且离心率e为2根号2/3

（1）求椭圆的方程
（2）直线l（与坐标轴不平行）于椭圆交于不同两点A,B，且线段AB中点的横坐标为-1/2，求直线l倾斜角的取值范围
第一问我已经求出来了x^2+y^2/9=1 告诉我下第二问吧 详细过程。 谢了。

Answer 1

解：
直线l不与坐标轴平行,设为y=kx+b（k≠0），M(x1,y1),N(x2,y2)
联立方程：y=kx+b，x^2 +y^2 /9=1
则(9+k^2)x^2+2kbx+b^2-9=0
△=(2kb)^2-4(9+k^2)(b^2-9)>0，k^2-b^2+9>0
x1+x2=-2kb/(9+k^2), x1x2=(b^2-9)/(9+k^2)
MN的中点的横坐标=(x1+x2)/2=-1/2
所以x1+x2=-1
所以9+k^2=2kb>b^2
(k-b)^2=b^2-9≥0,b^2≥9
b≥3或b≤-3
b(b-2k)<0
所以b≥3>0时，b-2k<0,k>b/2≥3/2
b≤-3<0时，b-2k>0,k<b/2≤-3/2
所以k的取值范围为(-∞,-3/2)∪(3/2,+∞)
直线l的倾斜角的取值范围为(arctan(3/2),π/2)∪(π/2,π-arctan(3/2))

追问

直线l的倾斜角的取值范围为(arctan(3/2),π/2)∪(π/2,π-arctan(3/2)) 最后有点看不懂，我比较笨。那几个英文是什么意思？

追答

反三角函数没学吗，就是用sin cos tan cot反表示角
例如sin30=1/2 那么arcsin1/2=30度
这个一定在解析几何前学的

Answer 2

由题可得：c=2√2，c/a=2√2/3，焦点在y轴
得a=3
椭圆方程为：y²/9+x²=1①

设直线方程：y=kx+b②
①。②消y得﹙k²+9﹚x²＋2kbx＋b²-9=0
得X1+X2=-2kb／k²+9
由题可得X1+X2=-1
得b=k²+9/2k
又因为Δ＞0
﹙这里是Δ化简﹚
得﹙k²-3﹚﹙k²+9﹚＞0
解得k∈﹙﹣∞，﹣3﹚∪﹙3，﹢∞﹚
综上：k∈﹙﹣∞，﹣3﹚∪﹙3，﹢∞﹚