Question

证明：二元积分若区域关于x轴对称，马上考查被积函数y的奇偶性；若为奇函数则结果为0。急！

Answer 1

先将二重积分化为累次积分，先积y后积x
∫∫ f(x,y)dxdy
=∫[a-->b]∫[g1(x)-->g2(x)] f(x,y) dy dx
由于区域关于x轴对称，则g1(x)与g2(x)图象关于x轴对称，因此g1(x)+g2(x)=0
即g1(x)=-g2(x)，因此上面积分变为
∫∫ f(x,y)dxdy
=∫[a-->b]∫[-g2(x)-->g2(x)] f(x,y) dy dx
观察内层积分
∫[-g2(x)-->g2(x)] f(x,y) dy，如果将其看作y的定积分（把x看作常数），这是一个对称区间上的积分，且被奇函数为奇函数，对定积分的奇偶对称性，该积分为0，因此原积分也为0.

Answer 2

如图示