Question

如图,圆O是RT三角形的外接圆，AB为直径角ABC=30度CD是元O的切线ED垂直AB与F判断三

ji圆O是RT三角形的外接圆，AB为直径角ABC=30度CD是元O的切线ED垂直AB与F判断三角形DCE形状

Answer 1

（2008•荆门）如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，AB为直径，∠ABC=30°，CD是⊙O的切线，ED⊥AB于F．
（1）判断△DCE的形状；
（2）设⊙O的半径为1，且OF= 3-12，求证△DCE≌△OCB．考点：切线的性质；全等三角形的判定；等腰三角形的判定．专题：证明题；探究型．分析：（1）易得△AOC是正三角形，故有∠E=30°，由∠OCD=90°和平角的概念可得∠DCE=30°=∠E，所以DE=CD；进而可知此三角形为等腰三角形．
（2）由勾股定理求得BC= 3，然后由直角三角形的性质，求得CE= 3，即可证得△DCE≌△OCB．解答：解：（1）∵∠ABC=30°，
∴∠BAC=60°．
又∵OA=OC，
∴△AOC是正三角形．
又∵CD是切线，
∴∠OCD=90°．
∴∠DCE=180°-60°-90°=30°．
而ED⊥AB于F，
∴∠CED=90°-∠BAC=30°．
故△CDE为等腰三角形．
（2）证明：在△ABC中，
∵AB=2，AC=AO=1，
∴BC= 22-12= 3．
∵OF= 3-12，
∴AF=AO+OF= 3+12．
又∵∠AEF=30°，
∴AE=2AF= 3+1，
∴CE=AE-AC= 3=BC，
而∠OCB=∠ACB-∠ACO=90°-60°=30°=∠ABC；
故△CDE≌△COB．点评：本题利用了直径对的圆周角是直角，等边三角形的判定和性质，勾股定理，切线的性质，直角三角形的性质求解．

Answer 2

解：（1）∵∠ABC=30°，
∴∠BAC=60°．
又∵OA=OC，
∴△AOC是正三角形．
又∵CD是切线，
∴∠OCD=90°．
∴∠DCE=180°-60°-90°=30°．
而ED⊥AB于F，
∴∠CED=90°-∠BAC=30°．
故△CDE为等腰三角形．

（2）证明：在△ABC中，
∵AB=2，AC=AO=1，
∴BC= = ．
∵OF= ，
∴AF=AO+OF= ．
又∵∠AEF=30°，
∴AE=2AF= +1，
∴CE=AE-AC= =BC，
而∠OCB=∠ACB-∠ACO=90°-60°=30°=∠ABC；
故△CDE≌△COB．

Answer 3

（1）解：∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
又∠ABC=30°，
∴∠BAC=60°，
又∵OA=OC，
∴△AOC是正三角形，
又∵CD是⊙O的切线，
∴∠OCD=90°，
∴∠DCE=180°-60°-90°=30°，
又∵ED⊥AB于F，
∴∠DEC=90°-∠BAC=30°，
∴∠DCE=∠DEC，
故△CDE为等腰三角形；
（2）证明：在Rt△ABC中，
∵AB=4，AC=AO=2，
∴ ，BC=√4²-√ 2²=2 √ 3
而 ，CE=，2（√ 3＋1)-2=2√ 3
∴BC=CE，
又∵∠OBC=∠OCB=∠DCE=∠DEC=30°，
∴△OBC≌△DCE（ASA）．

Answer 4

∵CD是圆O的切线 ∴∠DCB=90-∠OCB=∠OCA=60=∠OAC
∴∠DCE=90-∠DCB=90-∠OAC=∠E
三角形DCE是等腰三角形

Answer 5

（1）解：∵AB是⊙O的直径. ∴∠ACB＝90° 又∠A＝30° ∴∠ABC＝60° 连接OC，因CD切⊙O于C，则∠OCD＝90° 在△OBC中 ∵OB＝OC，∠ABC＝60° ∴∠OCB＝60° ∴∠BCD＝30° 又∠OBC＝∠BCD＋∠D ∴∠D＝30° ∴AC＝CD＝3 在Rt△ABC中，cosA＝ ∴AB＝＝＝6（cm） （2）△BMN中，①当∠BNM＝90°时，cos∠MBC＝ 即cos60°＝ ∴t＝1 此时BM＝3 BN＝1.5 MN＝＝ ∴S△BMN＝BN·MN＝ （cm2） ②当∠NMB＝90°时，cos∠MBC＝ 即cos60°＝ ∴ t＝1.6 此时BM＝ BN＝ MN＝＝ ∴S△BMN＝ BM·MN＝××＝（cm2）