Question

在等边三角形ABC中,点D为AC上一点,连结BD,直线L与AB、BD、BC分别相交于E、P、F，且角BPF为60度

问当BD满足什么条件时，PE=1/2PE?
打错了，PF=1/2PE

Answer 1

当D点为AC边上的中点时，PE=1/2PF!因为三角形是等边三角形，所以当D点为AC中点时，BD垂直于AC，BD与直线交于P点，你会发现角BFP为90度，那么角FEB为30度，就会有三角形BPE为等腰三角形，BP=PE，因为PF=1/2BP,所以，PF=1/2PE,在做证明题之前首先要根据题目画图，画完图再根据条件慢慢找答案！ 祝你学习愉快！

Answer 2

因为角BPF为60度
所以D为边AC的中点
BD垂直于AC
且直线I垂直于BC

追问

为什么 “角BPF为60度
所以D为边AC的中点”？

追答

1、因为△ABC为等边三角形，且∠BPF=60°，所以∠BPF=∠EBF＝60°
2、因为：
∠BPF＝∠BEF+∠EBP,
∠EBF＝∠PBF+∠EBP,
所以 ∠BEF=∠PBF
所以可以推到出△PBF与△BEF相似。
所以有：BF/EF=PF/BF，所以BF^2=PE*EF,有PF=1/2PE 可得：BF= √3，
3、做高FH垂直于EB并交于H，，由于=∠EBF=60,所以很容易算出:
HF=(√3/2)BF=1.5PF
4、对于直角三角形EHF，有HF=1.5PF，FE=PE+PF=3PF，所以很容易得出：
∠HEF=30°，所以∠PBF=∠BEF=30°
5、很明显BD首先是△ABC的∠ABC角平分线,由于△ABC是等边三角形，所以D为AC的中点，BD为ABC的中线、垂线和角平分线。

追问

",有BF^2=PE*EFPF=1/2PE 可得：BF= √3"?
我知道BF^2=PE*EF，但是怎么得的了BF= √3？

追答

BF^2=PE*EF 错了
是 BF^2=PF*EF 且PF=1/2PE
则 BF^2=(1/2)PE^2 则 BF=(根号2)PE/2

Answer 3

答 d为ac的中点
证明 设d为ac的中点 易知 abd=cbd=30度
因为 bpf=60度 所以 bfa=90度
因为三角形ABC为等边三角形 所以ABC=60度 所以 BEF=30度
所以 PE=PB 由上知 PF=PB 所以 PE=2PF

追问

由上知 PF=PB ？
你说的“角DBC=30°，角PFB=90°，怎么会是等腰三角形？”
而且就算PF=PB ，而PE=PB
那岂不是PF=PE了？

追答

打错 是PB=2PF

Answer 4

BD垂直于AC时，PF=1/2PE

Answer 5

PE=1/2PE？