Question

请教高数题，望详解。

Answer 1

ds = √(1+cos²x) dx
I = ∫ [0,π] x √(1+cos²x) dx,
1. ∵ √(1+cos²x) ≤ √2, ∴ I ≤ √2 ∫ [0,π] x dx = √2/2 π²
2. I = ∫ [0,π/4] x √(1+cos²x) dx + ∫ [π/4,π/2] x √(1+cos²x) dx +
+ ∫ [π/2,3π/4] x √(1+cos²x) dx + ∫ [3π/4,π] x √(1+cos²x) dx
I1 = ∫ [0,π/4] x √(1+cos²x) dx ≥ √(3/2) ∫ [0,π/4] x dx = √(3/2) * π²/32
I4 = ∫ [3π/4,π] x √(1+cos²x) dx ≥ √(3/2) ∫ [3π/4,π] x dx = √(3/2) * 7π²/32
I2 = ∫ [π/4,π/2] x √(1+cos²x) dx ≥ ∫ [π/4,π/2] x dx = 3π²/32
I3 = ∫ [π/2,3π/4] x √(1+cos²x) dx ≥ ∫ [π/2,3π/4] x dx = 5π²/32
=> I ≥ √(3/2) π²/4 + π²/4 = π²/8 * [ 2 + √2 * √3 )
=> I ≥ π²/8 * √2 (√2 + √3) > 3√2 π²/8

追问

我想问一下这一步怎么来的？ds = √(1+cos²x) dx，谢谢了。还有一步
∫ [0,π/4] x √(1+cos²x) dx ≥ √(3/2) ∫ [0,π/4] x dx 这一步我也不会。

追答

1. y = sinx, 弧微分 ds = (1 + y' ²) ^(1/2) dx = √(1+cos²x) dx
2. x ∈ (0,π/4) 时，√(1+cos²x) > √(1+ 1/2) = √(3/2)
另外， I ≥ 3√2 π²/8 的证明可能有更好的方法， 抱歉，我暂时没想到。