Question

请教高数题，望各位帮忙一下。

Answer 1

1. I = ∫ [0,√π] sinx² dx + ∫ [√π,√2π] sinx² dx 令 u = x², dx = du / 2√u
= ∫ [0,π] sinu / (2√u) du + ∫ [π,2π] sinu / (2√u) du
= ∫ [0,π] sinu / (2√u) du + ∫ [0,π] sin(π + v) / [2√(π+v)] dv 令 v = u - π
= ∫ [0,π] sinu / (2√u) du - ∫ [0,π] sinv / [2√(π+v)] dv
= ∫ [0,π] sinu * { 1/ (2√u) - 1/ [2√(π+u)] } du 被积函数 > 0
> 0
2. gradu = ( yz, xz, xy) = （2,10,5）, L = (4,3,12) = (1/13) (4,3,12)
方向导数 = (1/13)（2,10,5) • (4,3,12) = 98 /13
3. -1 < (3-x)/(3-2x) < 1 => x < 0 或 x > 2
f(t) = ∑ t ^(2n) / 2n, f '(t) = ∑ t ^(2n-1) = t / (1 - t²)
f(t) = ∫ t /(1-t²) dt = (-1/2) ln (1-t²)
和函数 S(x) = f [ (3-x)/(3-2x) ]
4. 令 u = xy
fx' = e^(-u²) * y , fxx'' = y * e^(-u²) * (-2u) * y = - 2xy³ e^(-u²)
fxy'' = e^(-u²) + y * e^(-u²) * (-2u) * x = e^(-u²) * (1 - 2x²y² )
fy' = = e^(-u²) * x , fyy'' = x * e^(-u²) * (-2u) * x = - 2 x³y e^(-u²)
=> (x/y) fxx'' - 2 fxy'' + (y/x)fyy''
= - 2x²y² e^(-u²) - 2 (1 - 2x²y² ) e^(-u²) + 2x²y² e^(-u²)
= - 2 e^(-u²)

追问

第四题那里，这里对x求导是不是少了一步，这个 fx' = e^(-u²) * y ,应该为这样fx' = e^(-u²) * (-2u)y .是不是少了一步啊？

追答

是的， fx' = e^(-u²) * (-2u) * y
……