Question

如图，矩形OABC的边OA,OC都在坐标轴上，顶点B的坐标为（4，3），动点P从A点出发。。

如图，矩形OABC的边OA,OC都在坐标轴上，顶点B的坐标为（4，3），动点P从0点出发，沿OA的路线以每秒2个单位长度的速度运动，当P到达A点时，运动终止。点D在对角线AC上，且AD=2，设运动时间为t秒。
（1）请写出△APD的面积S关于t的函数解析式————，此时t的取值范围是————
（2）若在动点P从O点出发的同时，有一动点Q从A出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，动点P停止时，点Q也随之停止，请问在运动过程中，当t为何值是，CP⊥PQ？
（3）在点P的运动过程中，是否存在一A,D,P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出此时t的值何对应P点的坐标，若不存在，请说明理由

Answer 1

解：
1、过点D作DE⊥OA，交OA于E
∵点B（4,3）
∴XB＝4,YB＝3
∵矩形ABCD
∴OA＝BC＝XB＝4，AB＝OC＝YB＝3
∴点A（4,0）、C（0,3）
∴AC＝√（OA²+OC²）＝√（16+9）＝5
∵DE⊥OA
∴DE∥OC
∴DE/AD＝OC/AB
∵AD＝2
∴DE/2＝3/5
∴DE＝6/5
∵P的速度为2/秒
∴OP＝2t
∴AP＝OA-OP＝4-2t
∴S△APD＝AP×DE/2＝（4-2t）×（6/5）/2＝12/5-6t/5
∵AC＝4
∴AC/2＝2
∴t的取值范围0≤t≤2
2、
∵CP⊥PQ
∴∠CPQ＝90
∴∠QPA+∠CPO＝90
∵∠CPO+∠OCP＝90
∴∠QPA＝∠OCP
∴△PQA相似于△CPO
∴OP/OC＝AQ/AP
∵Q的速度1/秒
∴AQ＝t
∴2 t /3＝t /（4-2 t）
∵t＝5/4
∴当t＝5/4秒时，CP⊥PQ
3、存在三种情况，使△PDA为等腰△
（1）AD＝AP
∵AD＝2,AD＝AP
∴AP＝2
∴OP＝OA-AP＝4-2＝2
∴OP/2＝2/2＝1（秒）
∴当P运动1秒时，等腰△PDA
（2）AD＝PD，底为AP
∵AD＝PD，DE⊥OA
∴AE＝PE
∵DE∥OC
∴AE/AD＝OA/AC
∴AE/2＝4/5
∴AE＝8/5
∴AP＝2AE＝16/5
∴OP＝OA-AP＝4-16/5＝4/5
∴OP/2＝（4/5）/2＝2/5（秒）
∴当P运动1秒时，等腰△PDA
（3）AP＝PD，底为AD
过P作PF⊥AD
∵PF⊥AD，AP＝PD
∴AF＝DF＝AD/2＝2/2＝1
∵EF⊥AD，∠CAO＝∠DAE
∴△APF相似于△AOC
∴AP/AF＝AC/BC
∴AP/1＝5/3
∴AP＝5/3
∴OP＝OA-AP＝4-5/3＝7/3
∴OP/2＝（7/3）/2＝7/6（秒）
∴当P运动7/6秒时，等腰△PDA