Question

关于线性代数的一道证明题,如图,求详细证明过程,谢谢大家!

麻烦各位啦

Answer 1

1、因为（E-AB)(E+AB)=E-ABAB=0，所以R(E-AB)+R(E+AB)<=n,但R(E-AB)+R(E+AB)>=R(E-AB+E+AB)=R(2E)=n,所以R(E-AB)+R(E+AB)=n
2、只须证明ATAX=0与AX=0同解即可
显然AX=0解是ATAX=0的解，反之，设y=AX,则yTy=XTATAX，所以若ATAX=0的解必是yTy=0的解，但是yTy=0仅有零解，所以ATAX=0的解也是AX=0的解。证毕！

追问

请问为什么第1小题的"因为（E-AB)(E+AB)=E-ABAB=0，所以R(E-AB)+R(E+AB)=R(E-AB+E+AB)=R(2E)=n",麻烦能详细说明一下吗?
还想请问第2小题,其实一直不明白这种题为什么是证明R(ATA)=R(A)就只须证明ATAX=0与AX=0同解?为什么证明的第二部yTy=0仅有零解?

追答

若AB=0，由矩阵乘法定义A的行向量和B的列向量正交，因此R(A)+R(B)<=n
R(A+B)《=R(A+B,A)=R(A,B)《=R(A)+R(B)
yTy=(y1,y2,……,yn)(y1,y2,……,yn)T=y1^2+y2^2+……+yn^2=0推出yi=0,y=0