Question

已知:将一副三角板(RT△ABC和RT△DEF)如图①摆放,点E,A,D,B在一条直线上,且D是AB的重点.将RT△DEF绕点D顺

Answer 1

∵∠A=∠ADM=30°，

∴MA=MD.又MG⊥AD于点G，

∴AG=AD.

∵∠BDC=180°-∠ADE-∠EDF=180°-30°-90°=60°=∠B，

∴CB=CD.

∴C与N重叠.又NH⊥DB于点H，

∴DH=DB.

∵AD=DB，

∴AG=DH.

(2)解 当α=60°时，(1)中的结论成立.

如图8，

∵∠ADM=60°，

∴∠NDB=90°-60°=30°.

∴∠MAD=∠NDB.

又AD=DB，∠ADM=∠B=60°，

∴△MAD≌△NDB.

∴MA=ND.

∵MG，NH分别是△MAD，△NDB的对应高，

∴Rt△MAG≌Rt△NDH.

∴AG=DH.

(3)解 当0°＜α＜90°时，(1)中的结论成立.

如图9，在Rt△AMG中，∠A=30°，

∴∠AMG＝60°＝∠B.

又∠AGM=∠NHB=90°，

∴△AGM∽△NHB.

∴.①

∵∠MDG=α，

∴∠DMG=90°-α=∠NDH.

又∠MGD=∠DHN=90°，

∴Rt△MGD∽Rt△DHN.

∴.②

①×②，得.

由比例的性质，得

，

即.

∵AD=DB，

∴AG=DH.

Answer 2

证明：∵在Rt△AMG中，∠A=30°，
∴∠AMG=60°=∠B，
∵∠AGM=∠BHN=90°，
∴△AGM∽△NHB，
∴
AG
NH
=
MG
BH
①，
∵∠MDG=α，
∴∠DMG=90°-α=∠NDH，
∵∠MGD=∠DHN=90°，
∴△MGD∽△DHN，
∴
DH
MG
=
NH
DG
②，
①×②得：
MG
BH
•
DH
MG
=
AG
NH
•
NH
DG
，
DH
BH
=
AG
DG
，
DG
AG
=
BH
DH
，
∴由比例性质得：
DG+AG
AG
=
BH+DH
DH
，
即
AD
AG
=
BD
DH
，
∵AD=BD，
∴AG=DH．