Question

函数周期性例题

对任意整数x,函数f(x)满足f(x+1)=(1+f(x))/(1-f(x)),且f(1)=2,f(2003)=?

Answer 1

在数学领域，函数是一种关系，这种关系使一个集合里的每一个元素对应到另一个（可能相同的）集合里的唯一元素。
（这只是一元函数f（x）＝y的情况，请按英文原文把普遍定义给出，谢谢）。
----A variable so related to another that for each value assumed by one there is a value determined for the other.
因变量，函数一个与他量有关联的变量，这一量中的任何一值都能在他量中找到对应的固定值。
----A rule of correspondence between two sets such that there is a unique element in the second set assigned to each element in the first set.
函数两组元素一一对应的规则，第一组中的每个元素在第二组中只有唯一的对应量。

函数的概念对于数学和数量学的每一个分支来说都是最基础的。

functions

数学中的一种对应关系，是从某集合A到实数集B的对应。简单地说，甲随着乙变，甲就是乙的函数 。精确地说，设X是一个不空集合，Y是某个实数集合 ，f是个规则 ， 若对X中的每个x，按规则f，有Y中的一个y与之对应 ， 就称f是X上的一个函数，记作y＝f（x），称X为函数f（x）的定义域，Y为其值域，x叫做自变量，y为因变量。

例1：y＝sinx X＝〔0，2π〕，Y＝〔－1，1〕 ，它给出了一个函数关系。当然 ，把Y改为Y1＝（a，b） ，a＜b为任意实数，仍然是一个函数关系。

其深度y与一岸边点 O到测量点的距离 x 之间的对应关系呈曲线，这代表一个函数，定义域为〔0，b〕。以上3例展示了函数的三种表示法：公式法 ， 表格法和图像法。

Answer 2

3、令x=x+a，通过方程组:f(x+2a)=-f(x+a),f(x+a)=-f(x)
我们可以得到f(x+2a)=f(x)
4、5、6都可以通过令x=x+a的方法来得出，f(x+2a)=f(x)，第6题计算量比较大。
第七题:通过令x=x+2a、x=x+a
，我们可以得到3个方程，通过这3个方程我们可以得出:f(x+3a)=f(x)
计算量巨大，建议不要去尝试。

Answer 3

由f(x+1)=(1+f(x))/(1-f(x)),可知
f(x+2)=(1+f(x+1))/(1-f(x+1)),
用第一条来替换掉第二条的f(x+1),
化简后得f(x)f(x+2)=-1,由此可知
f(x+2)f(x+4)=-1,将后两个方程合并得
f(x)=f(x+4),可知此周期函数的周期是4,根据f(1)=2,可推f(2001)=2
再根据之前化简得到的f(x)f(x+2)=-1,可推f(2001)f(2003)=-1
由以上两个推论可知f(2003)=-1/2.