Question

函数f（x）=x+1/2 x∈[0,1/2） 2（1-x） x∈[1/2，1]

函数f（x）=x+1/2 x∈[0,1/2）
2（1-x） x∈[1/2，1]
定义f（x）的第k阶阶梯函数fk（x）=fk（x-k）-k/2 x∈（k，k+1] 其中 k∈N*
f（x）的各阶梯函数图像的最高点Pk（ak，bk）
1 . 不等式 f（x）小于等于x的解
2.求证 所有的点Pk在某条直线上
（k是小的右下标）
写出过程

Answer 1

分析：
首先要对函数f(x)的单调性进行判断，由于f(x)在[0,1/2）内的一阶导数大于零，故在此区间内是增函数；在[1/2，1]内f(x)的一阶导数小于零，所以在此区间内是减函数，由此可见，点x=1/2是函数f(x)的最高点1。
解：
1. 将不等式 f(x) ≤ x 按不同区间分开写，可得在[0,1/2）内 x+1/2 ≤ x 和在[1/2，1]内 2(1-x) ≤ x ;第一个不等式无解，第二个不等式的解为 x ≥ 2/3。
2. 首先求 fk（x）的最高点，由于 fk(x)=f（x-k）-k/2，且k不是变量，所以 fk（x）的最高点由
f（x-k）来决定，即当f（x-k）达到最高点时，fk(x)为最高。根据前面的分析，当x=1/2时 f(x) 到达最高点，因此当 x-k=1/2 时，f（x-k）达到最高，最终fk(x) 达到最高。由 x-k=1/2 可以推导出当x=k+1/2时，fk(x)=f（1/2）- k/2=1-k/2，即 ak=k+1/2，bk=1-k/2。
当k=1时，a1=3/2，b1=1/2；
当k=2时，a2=5/2，b2=0；
当k=3时，a3=7/2，b3=-1/2；
利用以上的任意两个最高点来求斜率都为-1，由此可得所有的最高点Pk都在一条斜率为-1的直线上。

追问

斜率不是-1吧

追答

Sorry，写错了，斜率应为-1/2.

Answer 2

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