Question

数学分析题，数学高手请进。

证明：f(x)在区间[0,1]上二阶连续可微，则如图

Answer 1

取|f'(x)|在[0,1]上的最小值k=|f'(a)|
利用积分第一中值定理
\int_0^1 |f'(x)| dx
= |f'(b)|
<= |f'(b)-f'(a)| + |f'(a)|
= |\int_a^b f''(x) dx| + k
<= |\int_a^b |f''(x)| dx| + k
<= \int_0^1 |f''(x)| dx + k

1.若k=0则结论已经成立

2.若k>0，那么f(x)严格单调，在[0,1]上最多只有一个零点f(c)=0
2.1)若零点c确实存在，则|f(x)|=|f(x)-f(c)|>=k|x-c|，积分即得
\int_0^1 |f(x)| dx >= k/4
这样
\int_0^1 |f'(x)| dx <= 4*\int_0^1 |f(x)| dx + \int_0^1 |f''(x)| dx

2.2)若f没有零点，那么不妨设|f(0)|<|f(1)|
\int_0^1 |f(x)| dx
= |\int_0^1 f(x) dx|
>= |\int_0^1 f(x)-f(0) dx + f(0)|
= |\int_0^1 f(x)-f(0) dx| + |f(0)|
= \int_0^1 |f(x)-f(0)| dx + |f(0)|
>= k/4 + |f(0)|
> k/4
同样可以得到
\int_0^1 |f'(x)| dx < 4*\int_0^1 |f(x)| dx + \int_0^1 |f''(x)| dx

不论哪种情况都强于你要证的不等式

追问

小小的问一下，2.1）中积分得出的¼是怎么来的？

追答

\int_0^1 |f(x)| dx >= k[\int_0^c (c-x) dx + \int_c^1 (x-c) dx]
右端是关于c的二次函数，这总会了吧

Answer 2

元”有开始之意，“旦”指天明的意思。元旦（New Year's Day，New Year ）便是一年开始的第一天，也被称为“新历年”“阳历年”。元旦又称“三元”，即岁之元、月之元、时之元。辛亥革命成功后，孙中山为了“行夏正，所以顺农时，从西历”，定农历正月初一为春节，而以西历的1月1日为新年。1949年9月27日，中国人民政治协商会议第一届全体会议决定：“中华人民共和国纪年采用公元年法”，确认新年（元旦）为中国的法定节日。元旦也是世界上很多国家或地区的法定假日。赞同

Answer 3

哈。。。