5个回答
展开全部
已知△ABC为等边三角形,D为AC的中点,∠EDF=120°,DE交线段AB于E,DF交直线BC于F.
(1)如图(1),求证:DE=DF;
(2)如图(2),若BE=3AE,求证:CF= BC.
(3)如图(3),若BE= AE,则CF=
BC;在图(1)中,若BE=4AE,则CF=
BC.
考点:等边三角形的性质;全等三角形的判定与性质.专题:证明题.分析:(1)根据对角和是180°可推断出BEFD四点共圆,然后在由同(等)圆中,相等的圆周角所对弧相等来证明DE=DF;
(2)先证明△BDE和△BDF是直角三角形,然后利用(1)的结果证明Rt△BED≌Rt△BFD(HL);最后根据全等三角形的性质来证明、计算CF= BC;
(3)过点D作DH∥BC,交AB于点H.根据平行线的性质及全等三角形的判定定理(SAS)证明△DHE≌△DCF(SAS);然后再由全等三角形的性质及等边三角形的性质找出CF与BC的数量关系.解答:证明:
(1)连接BD.
∵∠EDF=120°,∠B=60°,
∴BEFD四点共圆;
又∵D为AC中点,
∴在等边三角形ABC中,BD为∠ABC的角平分线,
∴DE和DF在BEFD四点所构成的圆内,其圆周角相等,
∴DE=DF;
(2)连接BD.
由(1)知,四边形BEFD是圆内接四边形,
又∵在等边三角形ABC中,BD为∠ABC的角平分线,
∴BD也是∠EDF的角平分线,
∴∠DEB=180°- =90°,
∴△BED是直角三角形;
同理,得△BFD是直角三角形;
在Rt△BED和Rt△BFD中,
BD=DB(公共边),DE=DF(由上题知),
∴Rt△BED≌Rt△BFD(HL),
∴BE=BF(对应边相等);
又∵AB=BC,BE=3AE
∴CF= BC;
(3)过点D作DH∥BC,交AB于点H.
∴∠CDH+∠BCA=180°,
∴∠CDH=120°;
又∵D为AC中点,
∴DH= BC=DC;
∵∠HDE+∠EDC=120°,∠FDC+∠EDC=120°,
∴∠HDE=∠FDC;
又由ED=FD,
∴△DHE≌△DCF(SAS);
∴HE=FC;
①∵BE= AE,AB=BC,
∴BE= BC,
∵AH= BC,
∴HE=BC-AH-BE= BC,
∴ BC;
②∵BE=4AE,
∴AE= BC,
∵AH= BC,
∴HE=BC-BH-AE= BC,
∴ BC.
(1)如图(1),求证:DE=DF;
(2)如图(2),若BE=3AE,求证:CF= BC.
(3)如图(3),若BE= AE,则CF=
BC;在图(1)中,若BE=4AE,则CF=
BC.
考点:等边三角形的性质;全等三角形的判定与性质.专题:证明题.分析:(1)根据对角和是180°可推断出BEFD四点共圆,然后在由同(等)圆中,相等的圆周角所对弧相等来证明DE=DF;
(2)先证明△BDE和△BDF是直角三角形,然后利用(1)的结果证明Rt△BED≌Rt△BFD(HL);最后根据全等三角形的性质来证明、计算CF= BC;
(3)过点D作DH∥BC,交AB于点H.根据平行线的性质及全等三角形的判定定理(SAS)证明△DHE≌△DCF(SAS);然后再由全等三角形的性质及等边三角形的性质找出CF与BC的数量关系.解答:证明:
(1)连接BD.
∵∠EDF=120°,∠B=60°,
∴BEFD四点共圆;
又∵D为AC中点,
∴在等边三角形ABC中,BD为∠ABC的角平分线,
∴DE和DF在BEFD四点所构成的圆内,其圆周角相等,
∴DE=DF;
(2)连接BD.
由(1)知,四边形BEFD是圆内接四边形,
又∵在等边三角形ABC中,BD为∠ABC的角平分线,
∴BD也是∠EDF的角平分线,
∴∠DEB=180°- =90°,
∴△BED是直角三角形;
同理,得△BFD是直角三角形;
在Rt△BED和Rt△BFD中,
BD=DB(公共边),DE=DF(由上题知),
∴Rt△BED≌Rt△BFD(HL),
∴BE=BF(对应边相等);
又∵AB=BC,BE=3AE
∴CF= BC;
(3)过点D作DH∥BC,交AB于点H.
∴∠CDH+∠BCA=180°,
∴∠CDH=120°;
又∵D为AC中点,
∴DH= BC=DC;
∵∠HDE+∠EDC=120°,∠FDC+∠EDC=120°,
∴∠HDE=∠FDC;
又由ED=FD,
∴△DHE≌△DCF(SAS);
∴HE=FC;
①∵BE= AE,AB=BC,
∴BE= BC,
∵AH= BC,
∴HE=BC-AH-BE= BC,
∴ BC;
②∵BE=4AE,
∴AE= BC,
∵AH= BC,
∴HE=BC-BH-AE= BC,
∴ BC.
展开全部
我看E点在三角形里好像不是面积的一半的三分之一呀
展开全部
20
推荐律师服务:
若未解决您的问题,请您详细描述您的问题,通过百度律临进行免费专业咨询