Question

微积分不等式 难题悬赏

如果回答，能否用本人这种表示方式，也可写在纸上上传！先谢过！

Answer 1

简单说下思路.

首先容易想到Holder不等式.

但是用不上3次方积分得0的条件, 也得不到常数27/4.

不过可以模仿Holder不等式的证明, 对f(x)归一化, 即考虑g(x) = f(x)/c.

已知g(x)的4次方以及3次方的积分, 目标是控制g(x)的1次方的积分.

这里就需要形如t ≤ A·t⁴+B·t³+C的不等式.

得到这种不等式的直接方法就是展开完全平方式(t²+at+b)² ≥ 0.

为了不出现2次项, 要求2b = -a², 于是化为(2t²+2at-a²)² ≥ 0.

接下来就是选取a, 使得到的不等式能给出最好的常数.

这样选出来的就是a = 12^(1/4).

由此得到了那个引理, 并写出了上述证明.

追问

哈哈，你太强了！ok，采纳！