求2013年高考江苏卷理科数学试卷答案！
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参考答案
一、填空题
1． 2．5 3． 4．8 5．3 6．2 7．． 8． 9．
10． 11． 12． 13．或 14．12
二、解答题
15．解：（1）∵ ∴ 即，
又∵，∴∴∴
（2）∵ ∴即
两边分别平方再相加得： ∴ ∴ ∵
∴
16．证明：（1）∵，∴F分别是SB的中点
∵E．F分别是SA．SB的中点 ∴EF∥AB
又∵EF平面ABC, AB平面ABC ∴EF∥平面ABC
同理：FG∥平面ABC
又∵EFFG=F, EF．FG平面ABC∴平面平面
（2）∵平面平面
平面平面=BC
AF平面SAB
AF⊥SB
∴AF⊥平面SBC 又∵BC平面SBC ∴AF⊥BC
又∵, ABAF=A, AB．AF平面SAB ∴BC⊥平面SAB又∵SA平面SAB∴BC⊥SA
17．解：（1）由得圆心C为（3,2），∵圆的半径为
∴圆的方程为：
显然切线的斜率一定存在，设所求圆C的切线方程为，即
∴∴∴∴或者
∴所求圆C的切线方程为：或者即或者
（2）解：∵圆的圆心在在直线上，所以，设圆心C为（a,2a-4）
则圆的方程为：
又∵∴设M为（x,y）则整理得：设为圆D
∴点M应该既在圆C上又在圆D上 即：圆C和圆D有交点
∴
由得
由得
终上所述，的取值范围为：
18．解：（1）∵，
∴∴，
∴
根据得
（2）设乙出发t分钟后，甲．乙距离为d，则
∴
∵即
∴时，即乙出发分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短。
（3）由正弦定理得（m）
乙从B出发时，甲已经走了50（2+8+1）=550（m），还需走710 m 才能到达C
设乙的步行速度为V ,则
∴∴
∴为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟，乙步行的速度应控制在范围内
法二：解：（1）如图作BD⊥CA于点D，
设BD＝20k，则DC＝25k，AD＝48k，
AB＝52k，由AC＝63k＝1260m，
知：AB＝52k＝1040m．
（2）设乙出发x分钟后到达点M，
此时甲到达N点，如图所示．
则：AM＝130x，AN＝50(x＋2)，
由余弦定理得：MN2＝AM2＋AN2－2 AM·ANcosA＝7400 x2－14000 x＋10000，
其中0≤x≤8，当x＝37(35)(min)时，MN最小，此时乙在缆车上与甲的距离最短．
（3）由（1）知：BC＝500m，甲到C用时：50(1260)＝5(126)(min)．
若甲等乙3分钟，则乙到C用时：5(126)＋3＝5(141) (min)，在BC上用时：5(86) (min) ．
此时乙的速度最小，且为：500÷5(86)＝43(1250)m/min．
若乙等甲3分钟，则乙到C用时：5(126)－3＝5(111) (min)，在BC上用时：5(56) (min) ．
此时乙的速度最大，且为：500÷5(56)＝14(625)m/min．
故乙步行的速度应控制在[43(1250)，14(625)]范围内．
19．证明：∵是首项为，公差为的等差数列，是其前项和
∴
（1）∵ ∴
∵成等比数列 ∴ ∴
∴ ∴ ∵ ∴ ∴
∴
∴左边= 右边=
∴左边=右边∴原式成立
（2）∵是等差数列∴设公差为，∴带入得：
∴对恒成立
∴
由①式得： ∵ ∴
由③式得：
法二：证：（1）若，则，，．
当成等比数列，，
即：，得：，又，故．
由此：，，．
故：（）．
（2），
． (※)
若是等差数列，则型．
观察(※)式后一项，分子幂低于分母幂，
故有：，即，而≠0，
故．
经检验，当时是等差数列．
20.解：（1）由即对恒成立，∴
而由知＜1 ∴
由令则
当＜时＜0，当＞时＞0，
∵在上有最小值
∴＞1 ∴＞
综上所述：的取值范围为
（2）证明：∵在上是单调增函数
∴即对恒成立，
∴
而当时，＞ ∴
分三种情况：
（Ⅰ）当时， ＞0 ∴f（x）在上为单调增函数
∵ ∴f（x）存在唯一零点
（Ⅱ）当＜0时，＞0 ∴f（x）在上为单调增函数
∵＜0且＞0
∴f（x）存在唯一零点
（Ⅲ）当0＜时，，令得
∵当0＜＜时，＞0；＞时，＜0
∴为最大值点，最大值为
①当时，，，有唯一零点
②当＞0时，0＜，有两个零点
实际上，对于0＜，由于＜0，＞0
且函数在上的图像不间断 ∴函数在上有存在零点
另外，当，＞0，故在上单调增，∴在只有一个零点
下面考虑在的情况，先证＜0
为此我们要证明：当＞时，＞，设 ，则，再设
∴
当＞1时，＞-2＞0，在上是单调增函数
故当＞2时，＞＞0
从而在上是单调增函数，进而当＞时，＞＞0
即当＞时，＞，
当0＜＜时，即＞e时，＜0
又＞0 且函数在上的图像不间断，
∴函数在上有存在零点，又当＞时，＜0故在上是单调减函数∴函数在只有一个零点
综合（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）知：当时，的零点个数为1；当0＜＜时，的零点个数为2
21．A证明：连接OD，∵AB与BC分别与圆O相切于点D与C
∴,又∵
∴～
∴ 又∵BC=2OC=2OD ∴AC=2AD
21．B 解：设矩阵A的逆矩阵为,则=，即=，
故a=-1，b=0，c=0，d=∴矩阵A的逆矩阵为,
∴==
21．C解：∵直线的参数方程为 ∴消去参数后得直线的普通方程为 ①
同理得曲线C的普通方程为 ②
①②联立方程组解得它们公共点的坐标为，
21．D证明：∵
又∵＞0，∴＞0，,
∴
∴
∴
22．本题主要考察异面直线．二面角．空间向量等基础知识以及基本运算，考察运用空间向量解决问题的能力。
解：（1）以为为单位正交基底建立空间直角坐标系，
则，,,,
∴,
∴
∴异面直线与所成角的余弦值为
（2） 是平面的的一个法向量
设平面的法向量为，∵,
由
∴ 取，得，∴平面的法向量为
设平面与所成二面角为
∴， 得
∴平面与所成二面角的正弦值为
23．本题主要考察集合．数列的概念与运算．计数原理等基础知识，考察探究能力及运用数学归纳法分析解决问题能力及推理论证能力。
（1）解：由数列的定义得：，，，，，，，，，，
∴，，，，，，，，，，
∴，，，，
∴集合中元素的个数为5
（2）证明：用数学归纳法先证
事实上，[来源:Z_xx_k.Com]
① 当时， 故原式成立
② 假设当时，等式成立，即 故原式成立
则：，时，
综合①②得： 于是
由上可知：是的倍数
而，所以是
的倍数
又不是的倍数，
而
所以不是的倍数
故当时，集合中元素的个数为
于是当时，集合中元素的个数为
又
故集合中元素的个数为
一、填空题
1． 2．5 3． 4．8 5．3 6．2 7．． 8． 9．
10． 11． 12． 13．或 14．12
二、解答题
15．解：（1）∵ ∴ 即，
又∵，∴∴∴
（2）∵ ∴即
两边分别平方再相加得： ∴ ∴ ∵
∴
16．证明：（1）∵，∴F分别是SB的中点
∵E．F分别是SA．SB的中点 ∴EF∥AB
又∵EF平面ABC, AB平面ABC ∴EF∥平面ABC
同理：FG∥平面ABC
又∵EFFG=F, EF．FG平面ABC∴平面平面
（2）∵平面平面
平面平面=BC
AF平面SAB
AF⊥SB
∴AF⊥平面SBC 又∵BC平面SBC ∴AF⊥BC
又∵, ABAF=A, AB．AF平面SAB ∴BC⊥平面SAB又∵SA平面SAB∴BC⊥SA
17．解：（1）由得圆心C为（3,2），∵圆的半径为
∴圆的方程为：
显然切线的斜率一定存在，设所求圆C的切线方程为，即
∴∴∴∴或者
∴所求圆C的切线方程为：或者即或者
（2）解：∵圆的圆心在在直线上，所以，设圆心C为（a,2a-4）
则圆的方程为：
又∵∴设M为（x,y）则整理得：设为圆D
∴点M应该既在圆C上又在圆D上 即：圆C和圆D有交点
∴
由得
由得
终上所述，的取值范围为：
18．解：（1）∵，
∴∴，
∴
根据得
（2）设乙出发t分钟后，甲．乙距离为d，则
∴
∵即
∴时，即乙出发分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短。
（3）由正弦定理得（m）
乙从B出发时，甲已经走了50（2+8+1）=550（m），还需走710 m 才能到达C
设乙的步行速度为V ,则
∴∴
∴为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟，乙步行的速度应控制在范围内
法二：解：（1）如图作BD⊥CA于点D，
设BD＝20k，则DC＝25k，AD＝48k，
AB＝52k，由AC＝63k＝1260m，
知：AB＝52k＝1040m．
（2）设乙出发x分钟后到达点M，
此时甲到达N点，如图所示．
则：AM＝130x，AN＝50(x＋2)，
由余弦定理得：MN2＝AM2＋AN2－2 AM·ANcosA＝7400 x2－14000 x＋10000，
其中0≤x≤8，当x＝37(35)(min)时，MN最小，此时乙在缆车上与甲的距离最短．
（3）由（1）知：BC＝500m，甲到C用时：50(1260)＝5(126)(min)．
若甲等乙3分钟，则乙到C用时：5(126)＋3＝5(141) (min)，在BC上用时：5(86) (min) ．
此时乙的速度最小，且为：500÷5(86)＝43(1250)m/min．
若乙等甲3分钟，则乙到C用时：5(126)－3＝5(111) (min)，在BC上用时：5(56) (min) ．
此时乙的速度最大，且为：500÷5(56)＝14(625)m/min．
故乙步行的速度应控制在[43(1250)，14(625)]范围内．
19．证明：∵是首项为，公差为的等差数列，是其前项和
∴
（1）∵ ∴
∵成等比数列 ∴ ∴
∴ ∴ ∵ ∴ ∴
∴
∴左边= 右边=
∴左边=右边∴原式成立
（2）∵是等差数列∴设公差为，∴带入得：
∴对恒成立
∴
由①式得： ∵ ∴
由③式得：
法二：证：（1）若，则，，．
当成等比数列，，
即：，得：，又，故．
由此：，，．
故：（）．
（2），
． (※)
若是等差数列，则型．
观察(※)式后一项，分子幂低于分母幂，
故有：，即，而≠0，
故．
经检验，当时是等差数列．
20.解：（1）由即对恒成立，∴
而由知＜1 ∴
由令则
当＜时＜0，当＞时＞0，
∵在上有最小值
∴＞1 ∴＞
综上所述：的取值范围为
（2）证明：∵在上是单调增函数
∴即对恒成立，
∴
而当时，＞ ∴
分三种情况：
（Ⅰ）当时， ＞0 ∴f（x）在上为单调增函数
∵ ∴f（x）存在唯一零点
（Ⅱ）当＜0时，＞0 ∴f（x）在上为单调增函数
∵＜0且＞0
∴f（x）存在唯一零点
（Ⅲ）当0＜时，，令得
∵当0＜＜时，＞0；＞时，＜0
∴为最大值点，最大值为
①当时，，，有唯一零点
②当＞0时，0＜，有两个零点
实际上，对于0＜，由于＜0，＞0
且函数在上的图像不间断 ∴函数在上有存在零点
另外，当，＞0，故在上单调增，∴在只有一个零点
下面考虑在的情况，先证＜0
为此我们要证明：当＞时，＞，设 ，则，再设
∴
当＞1时，＞-2＞0，在上是单调增函数
故当＞2时，＞＞0
从而在上是单调增函数，进而当＞时，＞＞0
即当＞时，＞，
当0＜＜时，即＞e时，＜0
又＞0 且函数在上的图像不间断，
∴函数在上有存在零点，又当＞时，＜0故在上是单调减函数∴函数在只有一个零点
综合（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）知：当时，的零点个数为1；当0＜＜时，的零点个数为2
21．A证明：连接OD，∵AB与BC分别与圆O相切于点D与C
∴,又∵
∴～
∴ 又∵BC=2OC=2OD ∴AC=2AD
21．B 解：设矩阵A的逆矩阵为,则=，即=，
故a=-1，b=0，c=0，d=∴矩阵A的逆矩阵为,
∴==
21．C解：∵直线的参数方程为 ∴消去参数后得直线的普通方程为 ①
同理得曲线C的普通方程为 ②
①②联立方程组解得它们公共点的坐标为，
21．D证明：∵
又∵＞0，∴＞0，,
∴
∴
∴
22．本题主要考察异面直线．二面角．空间向量等基础知识以及基本运算，考察运用空间向量解决问题的能力。
解：（1）以为为单位正交基底建立空间直角坐标系，
则，,,,
∴,
∴
∴异面直线与所成角的余弦值为
（2） 是平面的的一个法向量
设平面的法向量为，∵,
由
∴ 取，得，∴平面的法向量为
设平面与所成二面角为
∴， 得
∴平面与所成二面角的正弦值为
23．本题主要考察集合．数列的概念与运算．计数原理等基础知识，考察探究能力及运用数学归纳法分析解决问题能力及推理论证能力。
（1）解：由数列的定义得：，，，，，，，，，，
∴，，，，，，，，，，
∴，，，，
∴集合中元素的个数为5
（2）证明：用数学归纳法先证
事实上，[来源:Z_xx_k.Com]
① 当时， 故原式成立
② 假设当时，等式成立，即 故原式成立
则：，时，
综合①②得： 于是
由上可知：是的倍数
而，所以是
的倍数
又不是的倍数，
而
所以不是的倍数
故当时，集合中元素的个数为
于是当时，集合中元素的个数为
又
故集合中元素的个数为
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