Question

初二数学证明题，大神请进来看看

如同,平行四边形ABCD中,角BAD与角ADC的平分线相交于点K,分别延长AK,DK交DC,AB的延长线于点E,F，P是AD上一动点（不与点A,D重合）过P点分别作DF,AE的平行线交AE,AF 于点M,Q，交DF,DE于点N,R，AD=5cm,DF=8cm
（1）设PD等于Xcm，三角形POR的面积为Ycm^2，求Y,X之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围
（2）当X为何值时，三角形ROP的面积最大

急用，请快点
求将所有O改为Q来看

Answer 1

三角形POR的面积为Ycm^2？——请问点O在什么地方？！

追问

Y是未知数y，cm^2是平方厘米，对不起打错了，是Q

追答

如图

已知∠1=∠2，∠3=∠4

所以，∠BAD=2∠2，∠ADC=2∠3

已知ABCD为平行四边形，所以：∠BAD+∠ADC=180°

即，2∠2+2∠3=180°

所以，∠2+∠3=90°

则，∠AKD=90°

即，AE⊥DF

又，∠1=∠2，AK公共

所以，Rt△AKF≌Rt△AKD（ASA）

所以，KF=KD=4

已知AD=5

所以，由勾股定理得到：AK=3

同理可证，AK=EK

所以，AE=2AK=6

已知PD=x，则AP=5-x

因为PQ//DF

所以，AP/AD=PQ/DF

===> (5-x)/5=PQ/8

===> PQ=(8/5)*(5-x)

同理，因为PR//AE，所以：DP/DA=PR/AE

===> x/5=PR/6

===> PR=(6/5)x

因为PQ//DF，PR//AE，而DF⊥AE

所以，PQ⊥PR

即，△PQR为直角三角形

所以，y=(1/2)PQ*PR=(1/2)*(8/5)*(5-x)*(6/5)x

=(24/25)x*(5-x)

=(24/25)*(-x²+5x)（0＜x＜5）

已知y=(24/25)*(-x²+5x)

那么，当x=-b/2a=5/2时有最大值【此时P为AD中点】，最大值为y=(24/25)*(25/4)=6

Answer 2

应是指三角形RQP吧

因，AE,DF是平分线，所以AE垂直于DF

因，PQ//DF，PR//AE,所以KN=MP=MQ,PN=NR=MK

直角三角形BMK相等于直角三角形KNR

所以QR必经过点K。

所以，直角三角形BMK面积=直角三角形KNR面积=长方形PNKM面积的一半

所以，三角形RQP面积=直角三角形BMK面积+直角三角形KNR面积+长方形PNKM面积

                                   =2×长方形PNKM面积

由于三角形AKD是直角三角形

AD=5,DF=8,则DK=4，AK=3

直角三角形PND相似于直角三角形AKD

所以

AD/AK=PD/PN，即 5/3=x/PN，PN=3x/5

AD/DK=PD/DN，即 5/4=x/DN，DN=4x/5

NK=DK-DN=4-4x/5

则

长方形PNKM面积=PN*NK=3x/5*(4-4x/5)

三角形RQP面积=2×长方形PNKM面积=6x/5×(4-4x/5)=24x/5-24xx/25

所以

Y=24x/5-24xx/25

后面简单了

x=2.5时，y最大为6

追问

初二还不会相似。。。。。。。。。。

追答

没想到别的方法。