Question

已知函数f(x)=(1/2)x^2+lnx.求函数f(x)在区间[1，e]上的最大值及最小值.

Answer 1

根据提供的条件可知在(1,+∞）上恒有 (a-1/2)x^2+lnx<2ax
即(1/2-a)x^2+2ax>lnx
考察不等式左侧，可知当二次项的系数小于0，
亦即a>1/2时 不等式左侧在x趋向无穷大时趋向于负无穷，显然不符合题意。
当二次项的系数等于0时，亦即a=1/2时 ，不等式化为 x>lnx
显然在题目的条件下恒成立，所以a=1/2是符合要求的解。
二次项系数大于0时，亦即a<1/2时，二次方程的两个0点是x=0和x=-2a/(1/2-a)
如果要满足不等式的条件必须有-2a/(1/2-a)<=1
解此不等式得a>=-1/2
综上可知a的取值范围是[-1/2,1/2]

Answer 2

已知函数f(x)=(1/2)x^2+lnx.求函数f(x)在区间[1，e]上的最大值及最小值.
解：定义域：x>0
由于在定义域内y′=x+(1/x)=(x²+1)/x>0总成立，故该函数在其定义域内始终是增函数，
∴minf(x)=f(1)=1/2；maxf(x)=f(e)=e²/2+1.