Question

请微积分专家回答： 定积分与不定积分，在什么情况下，不可以用同样的方法积分？

定积分与不定积分，在什么情况下，不可以用同样的方法积分？

Answer 1

有时候被积函数的不定积分不存在，比如说e^(x²)
但它在某个区间上的定积分却可求
因此，求定积分有很多的技巧，并不一定要根据牛顿-莱布尼兹公式求解

追问

谢谢您。
您所说的特例，确实不错。
不过，如果能够积得出来，什么时候不可以用同样的方法，
解答相同被积函数的定积分与不定积分？

追答

如果可以积出来的话，利用牛顿-莱布尼兹公式就可以求出定积分

追问

根据原理来解，一会累死人，二不能可行，理论虽可行，实际却难说。
本人想知道的是在积分前的一般判断的判据有哪些？
也就是什么时候可以，什么时候不可以？

再次谢谢老兄。

追答

不定积分如何判断是否可积我暂时还不清楚
但对于定积分来说，判断的依据有：
连续函数必定可积
无界函数必定不可积
只有有限个第一类间断点的函数可积
单调函数可积
有无限个第一类间断点，但这些间断点有极限的函数也可积

Answer 2

只要可以求出原函数的，都可以用同样的方法，只有当原函数无法求出时，才会有“不同方法”，此时，不定积分根本没法求，但是有些特殊情况下，定积分还是可以求的

追问

谢谢您的回答。
事实应该不是这样，因为不定积分时，因为没有一个积分区间，也就是没有一个定解条件，
也就是我们所做的代换总是在主观上认定可积的范围内。或者说，具体边界给定后，就会
发现原本冠冕堂皇的代换其实不能成立。
老兄，您同意否？
本人智钝，发现很多不定积分可积的题，到了定积分，却变得荒诞不堪，所以本人想听听，
并收集一些判断方法。

再次感谢老兄。

追答

这种说法没有反驳掉我的说法，不定积分得到的结果必须能满足牛顿－莱布尼茨公式，直接用于定积分。如果你说的情况成立，不定积分就是不成立的，不是说你可以再没有限定条件时就可以随便换元，此时只能说不定积分不存在

追问

老兄误解了。本人绝无反驳之心。
反驳不能解决问题，反驳只会增加误会，反驳是小学生才喜欢的事情。我们要的是解决问题。

不知道，您有没有经验体会：
解不定积分时的方法完全正确，到了同样的不定积分加了一个区间后，变得匪夷所思？
这样的例子举不胜举。
本人想知道的是，在积分时，首先判断什么？也就是做代换时，分别考虑的是什么？
或者说，在解不定积分时的哪些方法，要慎重、修正、放弃？等等。

再次感谢您。

追答

我很怀疑所谓的“解不定积分时的方法完全正确”这种说法，这只能说明你做不定积分时没有考虑所谓的积分方法必须再特定条件下才能成立的。如果你换到特定区间就不对了，说明不定积分的方法是错误的。你可以举出一个你认为对的例子，我们可以看看为什么它不对

追问

不好意思，看来老兄可能刚刚学微积分，应该是大学低年级学生，确实没有经验，而且死死抱住一个定义，听不进任何不同的分析。

Thank you anyway。

追答

你分析了么？你根本没有举出任何例子来证明的观点？！anyway，你沉醉在你“正确”的观点中吧。

Answer 3

无法换元的情况下

追问

谢谢您。
如果可以换元呢？什么时候，不可以用一样的换元法？