Question

高数问题，求详解

设函数f(x)=(1-x)^cotx,则定义f(0)为（ ）时，f(x)在x=0处连续
A.1/e
B.e
C.-e
D.无论怎样定义f(0),f(x)在x=0也不连续

为什么选A？怎么来的？

Answer 1

因为lim(x→0)f(x)=lim(x→0)(1-x)^cotx=lime^[ln(1-x)cotx]
因为limln(1-x)cotx=limln(1-x)/sinx=lim(-x)/x=-1
所以所求=e^(-1)=1/e

追问

limln(1-x)cotx=limln(1-x)/sinx=lim(-x)/x=-1
是怎么来的？

追答

利用等价无穷小替换
ln(1-x)----(-x)
sinx-----x

Answer 2

当x→0时，limf(x)=lime^ln[(1-x)^cotx]=lime^{[ln(1-x)]/tanx} (0/0，洛必达)
=lime^{[ln'(1-x)]/tan'x}=lime^[-cos²x/(1-x)]=1/e
f(x)在x=0处连续，所以 f(0)=1/e