一道高数题，求幂级数的和函数
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解：S‹n›=x²+2x³+3x⁴+4x⁵+5x⁶+.......+(n-2)xⁿ⁻¹+(n-1)xⁿ.............(1)
xS‹n›=x³+2x⁴+3x⁵+4x⁶+5x⁷+........+(n-2)xⁿ+(n-1)xⁿ⁺¹.............(2)
(1)-(2)(错项相减)得:
(1-x)S‹n›=x²+x³+x⁴+x⁵+x⁶+.......+xⁿ-(n-1)xⁿ⁺¹=[x²(1-xⁿ⁻¹)/(1-x)]-(n-1)xⁿ⁺¹
故S‹n›=[x²(1-xⁿ⁻¹)/(1-x)²]-[(n-1)xⁿ⁺¹]/(1-x)【n=2，3，4，.......，n】
当∣x∣∣<1时：
S=【1，+∞】S‹n›=n→+∞limS‹n›=n→+∞lim{[x²(1-xⁿ⁻¹)/(1-x)²]-[(n-1)xⁿ⁺¹]/(1-x)}=x²/(1-x)²
当x≧1时S=【1，+∞】S‹n›=n→+∞limS‹n›=+∞
当x≦-1时S=【1，+∞】S‹n›=n→+∞limS‹n›=-∞
xS‹n›=x³+2x⁴+3x⁵+4x⁶+5x⁷+........+(n-2)xⁿ+(n-1)xⁿ⁺¹.............(2)
(1)-(2)(错项相减)得:
(1-x)S‹n›=x²+x³+x⁴+x⁵+x⁶+.......+xⁿ-(n-1)xⁿ⁺¹=[x²(1-xⁿ⁻¹)/(1-x)]-(n-1)xⁿ⁺¹
故S‹n›=[x²(1-xⁿ⁻¹)/(1-x)²]-[(n-1)xⁿ⁺¹]/(1-x)【n=2，3，4，.......，n】
当∣x∣∣<1时：
S=【1，+∞】S‹n›=n→+∞limS‹n›=n→+∞lim{[x²(1-xⁿ⁻¹)/(1-x)²]-[(n-1)xⁿ⁺¹]/(1-x)}=x²/(1-x)²
当x≧1时S=【1，+∞】S‹n›=n→+∞limS‹n›=+∞
当x≦-1时S=【1，+∞】S‹n›=n→+∞limS‹n›=-∞
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