Question

高数问题，求详解

f(x)=(x^2-x-2)|x^3-x|不可导点的个数是 ( )
A.0
B.1
C.2
D.3
为什么选C？求详解

Answer 1

f(x)=(x^2-x-2)|x^3-x|= (x−2)(x +1) |x(x −1)(x +1)|
函数f(x)在某一点x0可导的充要条件是f(x)在x=x0的左右导数都存在且相等，
显然f(x)存在3个可能的不可导点x= -1，x=0和x=1
在x= -1的时候，
左导数
f'-(-1)= lim[x-> -1-] [f(x) -f(-1)] / (x+1)
=lim[x-> -1-] f(x) / (x+1)
=lim[x-> -1-] (x−2) |x(x −1)(x +1)|
同理右导数
f'+(-1)= lim[x-> -1+] [f(x) -f(-1)] / (x+1)
=lim[x-> -1+] (x−2) |x(x −1)(x +1)|
显然在x-> -1-和x-> -1+的时候，
(x−2) |x(x −1)(x +1)|都等于0，
所以x=-1时，f(x)的左右导数相等，故x= -1时，f(x)可导，

而在x=0的时候，
x(x −1)(x +1)在x=0的左邻域内大于0，在x=0的右邻域内小于0
所以
lim[x->0-] f(x)=(x−2)(x +1)x(x −1)(x +1)
lim[x->0+] f(x)= -(x−2)(x +1)x(x −1)(x +1)
左导数
f'-(0)= lim[x->0-] [f(x) -f(0)] / x
= lim[x->0-] f(x) / x
=lim[x->0-] (x−2)(x +1)x(x −1)(x +1) / x
=lim[x->0-] (x−2)(x +1)(x −1)(x +1)
=2
而右导数
f'+(0)=lim[x->0+] [f(x) -f(0)] / x
=lim[x->0+] f(x) / x
=lim[x->0+] -(x−2)(x +1)x(x −1)(x +1) / x
=lim[x->0+] -(x−2)(x +1)(x −1)(x +1)
= -2
显然左导数不等于右导数，
故在x=0这一点，f(x)不可导

同样可以算出
在x=1这一点，f'-(1)=4，f'+(1)= -4
f(x)的左导数也不等于右导数，
故在x=1这一点，f(x)也不可导，

所以综上所得，f(x)在x=0和x=1处不可导，
有两个不可导的点，选择C

不明白再追问我

追问

"显然f(x)存在3个可能的不可导点x= -1，x=0和x=1",那x=2不行吗

追答

x=2的时候是肯定可导的，
f(x)= (x−2)(x +1) |x(x −1)(x +1)|
f(2)=0，
于是
x=2处的左导数
f'-(2)=lim[x->2-] [f(x) -f(2)] / (x-2)
= lim[x->2-] f(x) / (x-2)
= lim[x->2-] (x +1) |x(x −1)(x +1)|
同理右导数
f'+(2)= lim[x->2+] [f(x) -f(2)] / (x-2)
= lim[x->2+] (x +1) |x(x −1)(x +1)|
左右导数一定是相等的
注意到x=2这个因子不在绝对值的符号之内，通常情况下这一点都是可导的