Question

已知函数f(x)=x/x+3,数列an满足a1=1,a（n+1）=f(an) （n属于N+）

已知函数f(x)=x/x+3,数列an满足a1=1,a（n+1）=f(an) （n属于N+）
求 1）数列｛an｝的通项公式
2）若数列｛bn}满足bn=(1/2)an*a(n+1)*3^n,Sn=b1+b2+b3+...+bn,求Sn

Answer 1

解：(1)∵an+1=an/an+3
∴1/a(n+1)=1+3/an(两边同除an*a(n+1)
设an=Tn
∴3(Tn+x)=T(n+1)+x
即解得x=1/2
∵T1=1/an=1
∴Tn+1/2=3^(n+1)(T1+1/2)=(3^n)/2
即an=2/(3^n-1)
∵bn=an/2*an+1*3^n=2*3^n/(3^n-1)(3^(n+1)-1)=(1/3^n-1) -(1/3^n+1-1)
∴Sn=b1+b2+……+bn=1/2-1/(3^(n+i)-1
天哪，总算打完了，还不懂的话尽管问……

Answer 2

解：
(1)
a(n+1)=f(an)=an/(an+3)
1/a(n+1)=(an+3)/an=1+3/an
1/a(n+1)+1/2=3/2+3/an=3(1/2+1/an)
[1/a(n+1)+1/2]/(1/an+1/2)=3，为定值。
1/a1+1/2=1/1+1/2=3/2
数列{1/an+1/2}是以3/2为首项，3为公比的等比数列。
1/an+1/2=(3/2)3^(n-1)=3ⁿ/2
1/an=(3ⁿ-1)/2
an=2/(3ⁿ-1)
n=1时，a1=2/(3-1)=1，同样满足。
数列{an}的通项公式为an=2/(3ⁿ-1)
(2)
bn=(1/2)ana(n+1)3ⁿ
=(1/2)[2/(3ⁿ-1)][2/(3×3ⁿ-1)]3ⁿ
=2×3ⁿ/[(3ⁿ-1)(3×3ⁿ-1]
=1/(3ⁿ-1)-1/[3^(n+1)-1]
Sn=b1+b2+...+bn
=1/(3^1-1)-1/(3^2-1)+1/(3^2-1)-1/(3^3-1)+...+1/(3^n-1)-1/[3^(n+1)-1]
=1/(3-1)-1/[3^(n+1)-1]
=1/2-1/[3^(n+1)-1]