Question

高数证明题，求详解

设f(x),g(x)在[a,b]上连续,且f(x)<=g(x)及∫(a→b)f(x)dx=∫(a→b)g(x)dx,试证明在[a,b]上f(x)恒等于g(x)

Answer 1

证明：用反证法。考虑f(x),g(x)在[a,b]上的连续性，不妨假设在x0∈[a,b]的某个临域[x0-δ,x0+δ] （δ>0）内，f(x)<g(x)，则
∫(a→b)f(x)dx=∫(a→x0-δ)f(x)dx+∫(x0-δ→x0+δ)f(x)dx+∫(x0+δ→b)f(x)dx
因∫(a→x0-δ)f(x)dx≤∫(a→x0-δ)g(x)dx，∫(x0-δ→x0+δ)f(x)dx<∫(x0-δ→x0+δ)g(x)dx，∫(x0+δ→b)f(x)dx≤
∫(x0+δ→b)g(x)dx，故
∫(a→b)f(x)dx=∫(a→x0-δ)f(x)dx+∫(x0-δ→x0+δ)f(x)dx+∫(x0+δ→b)f(x)dx<∫(a→b)g(x)dx，与∫(a→b)f(x)dx=∫(a→b)g(x)dx矛盾。故假设不成立。于是在[a,b]上f(x)恒等于g(x)成立。

Answer 2

f(x)<=g(x),得出∫(a→b)f(x)dx<=∫(a→b)g(x)dx ，于是
∫(a→b)g(x)dx- ∫(a→b)f(x)dx=∫(a→b)[g(x)-f(x)]dx>=0 (1)
又∫(a→b)f(x)dx=∫(a→b)g(x)dx
得∫(a→b)g(x)dx- ∫(a→b)f(x)dx=∫(a→b)[g(x)-f(x)]dx=0 (2)
(1)(2)得g(x)=f(x)

追问

= =那个，我想问一下∫(a→b)f(x)dx<=∫(a→b)g(x)dx 和∫(a→b)f(x)dx=∫(a→b)g(x)dx
不是矛盾了吗，是题目有问题吗？