Question

关于导数

已知函数f(x)=ln(1+x)－(x/ax+1)(a>0).
若f(x)在(0，正无穷)上是单调递增函数，求的a取值范围；
不理解的是：要证明f(x)在区间内为递增函数，不是只需要证明f '(x)>0就可以了，为什么答案要写f '(x)大于等于0呢？定义域又不包括0，到底是为什么呀？
你们说的还是有点抽象了，我的理科思维不好能不能举点实例？至少让我分得出什么时候该>=0呀

Answer 1

已知函数f(x)=ln(1+x)－[x/(ax+1)](a>0)；若f(x)在(0，正无穷)上是单调递增函数，求的a取值范围
解：若在某个区间上有f′(x)>0，则f(x)在此区间上“严格单调增”；若在某个区间上有f′(x)≧0，
则f(x)在此区间上“单调增”。二者的区别是：后者在此区间中的某些点的δ邻域内或某些小区段
内f(x)保持为常量或在某个点上取得极值或有拐点的情况。这与定义域是否包括0没有什么关系。
此函数的定义域为x>-1且x≠-1/a(a>0)
令f′(x)=1/(x+1)-1/(ax+1)²>0
即有1/(x+1)>1/(ax+1)²，∵x+1>0，(ax+1)²>0，即不等式两边都是正数，∴可以颠倒得：
x+1<(ax+1)²，即有a²x²+2ax+1>x+1，a²x²+(2a-1)x=x(a²x+2a-1)>0
由于只需(x)在(0，+∞)上是单调递增，故x>0，∴必有 a²x+2a-1>0，即x>(1-2a)/a²>0，
故得1-2a>0，即0<a<1/2，这就是a的取值范围。

Answer 2

你说的只是充分条件，不是充分必要条件。f'(x)>0可以保证f(x)是递增的，但f递增不能保证f'>0。f递增和f'(x)>=0是等价的。

Answer 3

极值