Question

已知向量a=(cosx,sinx),向量b=（cosy,siny），向量a与向量b之间有关系式

已知向量a=(cosx,sinx),向量b=（cosy,siny），向量a与向量b之间有关系式︱k.向量a+向量b︱=√3︱向量a-k.向量b︱，其中k>0。
（1）用k表示向量a.向量b；
（2）求向量a.向量b的最小值，并求此时向量a与向量b的夹角θ的大小

Answer 1

(1).解：a²=b²=1
∴由|ka+b|=√3|a-kb|可知：
k²a²+b²+2kab=3a²+3k²b²-6kab
即8kab=(3-k²)a²+(3k²-1)b²=3-k²+3k²-1=2+2k²
即4kab=1+k²
∵k>0
∴ab=(k²+1)/(4k)

(2).解：
ab=(1/4)(k+1/k)≥(1/4)*2√(k*1/k)=1/2
∴当且仅当k=1/k,即k=1时，ab取最小值，最小值为1/2
则cosθ=ab/(|a||b|)=1/2
∴θ=60°