Question

若关于x的方程 |x|/x-2=kx有三个不等实数根,则实数k的取值范围是

网上的这个过程中当x≥0时：
kx^2-2kx=x
kx^2-(2k+1)x=0
x1=0
x2=2k+1＞0
k＞-1/2，

X2=2k+1哪里来的？
还有为什么2k+1>0就能得出k的范围？这和有三个不同实数根有什么关系？

Answer 1

我在网上查找了颇多人的解法，看得头疼，还是错误居多。
在此贴上我高一新生的图解法（话说图你就自己画了……）

由|x|/x-2=kx可得
|x|=（x-2)kx=kx²-2kx
作出|x|的图像
∵kx²-2kx的对称轴恒为x=1
作出图像，可得k＜0时最多两根，所以该情况不存在

讨论x＞0，作出大致图像
可知一根为x=0，第二个根不知道是多少（俄，反正肯定存在，是正数）
问题就在第三个根了。。。
嗯，应该不算太复杂。。在x轴的负半轴上，只要二次函数的抛物线比|x|要“凹”点儿就OK啦
此时kx²-2kx=-x 解得kx²=（2k-1)x 一根为x=0，第三个根解得为x=(2k-1)/k
∵第三个根为负数，且k＞0。。。
∴2k-1＜0
解得k＜1/2

那个。。。这样就over了吧。。。
k相当于二次函数的一般表达式中的那个a。。。那么，k越小，二次函数张口越大，从图像上看，满足条件吧。。
k=0的情况明显不现实。。。

就这样了
k的取值范围是（0，1/2）

话说，是姜中的校友否？

Answer 2

|x|/(x-2)=kx
x≠2
|x|=kx(x-2)
kx^2-|x|-2Kx=0
x>=0
kx^2-x-2Kx=0
x(x-1-2k)=0
x=0 x-1-2k=0
x=0 x=2k+1
x<0
kx^2+x-2Kx=0
x(x+1-2k)=0
x=0 x+1-2k=0
x=0 x=2k-1
|x|/x-2=kx 有三个根 x=0 x=2k+1 x=2k-1
当2k+1=0 或2k-1=0时只有两个根
k≠1/2 k≠-1/2

追问

kx^2-x-2Kx=0
x(x-1-2k)=0
x=0 x-1-2k=0

这步不对吧，应该是x(kx-2k-1)=0

追答

|x|/(x-2)=kx
x≠2
|x|=kx(x-2)
kx^2-|x|-2Kx=0
x>=0
kx^2-x-2Kx=0
x(kx-1-2k)=0
x=0 kx-1-2k=0
x=0 x=(2k+1)/k
x<0
kx^2+x-2Kx=0
x(kx+1-2k)=0
x=0 kx+1-2k=0
x=0 x=(2k-1)/k
|x|/x-2=kx 有三个根 x=0 x=(2k+1) x=(2k-1)/k
当(2k+1)/k=0 或(2k-1)/k=0时只有两个根
k≠1/2 k≠-1/2 k≠0

Answer 3

解：由题意可知k≠0，

∵|x|x-2=kx
∴kx2-2kx=|x|
当x≥0时：kx2-2kx=x
kx2-（2k+1）x=0
∴x1=0，x2= 2k+1k＞0
∴k＜- 12或k＞0
当x＜0时：kx2-2kx=-x
kx2-（2k-1）x=0
∴x= 2k-1k＜0∴0＜k＜ 12
综上方程的根一正，一负，一个为0，k的范围是（0，12 ）．
故答案为：（0， 12）