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已知RT三角形ABC中,角ACB=90度,AC=BC.D是BC的中点,CE垂直于AD,垂足为点E,BF//AC,交CE的延长线于点F.
在Rt三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D为BC边的中点,CE⊥AD,垂足为E,BF∥AC,交CE的延长线于点F,连接DF,求证:1、AB垂直平分DF。2、AC=2BF。3、∠CDA=∠BDG
1、∵角ACB=90度,AC=BC
∴∠CAB=∠CBA=45°
∵D为BC边的中点,
那么CD=BD=1/2BC=1/2AC
∵BF∥AC,∠ACB=90°
∴∠CBF+∠ABC=180°,那么∠CBF=∠ACD=90°
∵∠BCF+∠ACE=∠ACB=90°
CE⊥AD,那么∠CAD+∠ACE=∠AEC=90°
∴∠BCF=∠CAD
∵AC=BC
∴△ACD≌△CBF(ASA)
∴CD=BF=BD
∵∠FBA=∠CBF-∠CBA=90°-45°=45°
即∠FBA=∠CBA=∠DBA
那么AB是∠DBF平分线
∴ABAB垂直平分DF(等腰三角形顶角平分线和底边上的高、中线三线合一)
2、∵△ACD≌△CBF(ASA)
∴CD=BF=BD=1/2AC
那么AC=2BF
3、做CN⊥AB于N,交AD于M
∴∠ACM=∠CBG=45°(等腰直角三角形,∠ACB=∠BCN=45°
∵∠CAD=∠BCF即∠CAM=∠BCG(前面证明)
AC=BC
∴△ACM≌△BCG(ASA)
∴CM=BG
∵∠BCN=∠CBA=45°,即∠DCM=∠DBG=45°
CD=BD
∴△DCM≌△BDG(SAS)
∴∠CDM=∠BDG
即∠CDA=∠BDG
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