Question

定义在0至正无穷大上的函数f(X)满足f(XY)=f(X)+f(Y),且当X＞1时，f（X）＜0

1，求f（1）
2，证明F（X）在0至正无穷大上单调递减

Answer 1

1.因为f（xy）=f（x）+f（y），所以令x=y=1，即得f（1）=f（1）+f（1），故f（1）=0
2.首先证明f（x/y）=f（x）-f（y）。因为f(XY)=f(X)+f(Y)，所以f（1）=f（x*1/x）=f（x）+f（1/x），由上一问，f（1）=0，所以f（1/x）=-f（x）。所以f（x/y）=f（x）+f（1/y）=f（x）-f（y）。设x1、x2∈（0，+∞），且x1＜x2。从而x2/x1＞1，f（x2/x1）＜0。则f（x2）-f（x1）=f（x2/x1）＜0，即f（x2）＜f（x1）。故f（x）在（0，+∞）上单调递减。

Answer 2

∵f（xy）=f（x）+f（y），
令x=0，y=1，
则f（xy）=f（0*1）=f（0）+f（1）
∴f（0）=f(0)+f(1)
∴f（1）=0

证明：（2）由f（xy）=f（x）+f（y）
设x1＞x2＞0， ， ，可得 ，（x2/x1＞1）
∴ ，即f（x1）-f（x2）＜0
∴f（x1）＜f（x2），所以f（x）在（0，+∞）上单调递减；（10分）