Question

已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA、PB、PC的长分别为a、b、c,且两两互相垂直,且满足(a＾2＋b＾2）c＝根号6

已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA、PB、PC的长分别为a、b、c,且两两互相垂直,且满足(a＾2＋b＾2）c＝根号6，当三棱锥体积最大时，侧面PAB与地面ABC成60度，则三棱锥体积最大时a＝＿＿＿＿

Answer 1

2ab≤a²+b²
PA、PB、PC两两互相垂直，所以
体积V=(1/6)abc≤(1/12)(a²+b²)c=√6/12
当且仅当a=b时，V的最大值为√6/12。
过P作底面的垂线，垂足为O，则O为底面ABC的垂心。连CO并交AB与D，则CD⊥AB，
由于 a=b，所以 D是AB的中点。连PD，则易证∠PDC是侧面PAB与地面ABC所成角。
容易求出，AB=√2a，PD=(√2/2)a，而PC/PD=tan∠PDC=√3
所以 √2c/a=√3，c=(√6/2)a
V=(1/6)abc=(√6/12)a³=√6/12，
a=1