Question

高一数学圆和直线的方程

11.求与圆C：x²+y²-x+2y=0 关于直线l : x-y+1=0对称的圆的方程。

Answer 1

C的方程是(x-1/2)²+(y+1)²=5/4，圆心O是(1/2,-1)，半径√5/2，设O关于直线l的对称点是O'，
则OO'等于O到直线距离2倍=2*|1/2+1+1|/√(1+1)=5√2/2，且直线斜率是1，则OO'斜率-1，可知
O‘坐标是(1/2-5/2,-1+5/2)即(-2,3/2)，半径√5/2，圆的方程为(x+2)²+(y-3/2)²=5/4

Answer 2

问题等价于求圆c的圆心O关于直线l的对称点O'，c的圆心为O(1/2,-1)。由于直线OO'垂直于l，故OO‘的斜率k=-1.故OO’方程为y-1/2=-1*(x+1),它与l的交点为M(-3/4,1/4).由于O‘位于直线OO’上，并且|OM|=|O‘M|，可解得O’为(-2,3/2),故所求圆的方程为x^2+4x+y^2-3y+5=0

Answer 3

解:
设点P(x,y)是所求的圆上的任意一点,
点P关于直线x-y+1=0的对称点Q(y-1, x+1)必在圆C上
∴就有(y-1)²+(x+1)²-(y-1)+2(x+1)=0
整理即得所求的圆的方程
x²+y²+4x-3y+5=0