Question

已知定义在[-1,1]上是奇函数f(x),当x属于(0,1]时,f(x)=(2^x)/(4^x+1)。

(1)求函数f(x)在[-1,1]上的解析式
(2)试用函数单调性定义证明：f(x)在(0,1]上是减函数
(3)要使方程f(x)=x+b,在[-1,1]上恒有实数解，求实数b的取值范围
急求啊~~~拜托帮帮忙~~~

Answer 1

1. 奇函数 => f(0) = 0
x ∈ (0,1], f(x)=(2^x)/(4^x+1);
x ∈[-1,0), f(x) = - f(-x) = - 2^(-x) / [4^(-x) + 1] = - 2^x / ( 1 + 4^x)
2. 任给 a, b∈ (0,1], a < b,
f(a) - f(b) = 2^a / ( 1 + 4^a) - 2^b / ( 1 + 4^b)
= [ 2^a (1 + 4^b) - 2^b (1 + 4^a) ] / [(1 + 4^a)(1 + 4^b)]
= [ 2^a - 2^b ] * [1 - 2^(a+b) ] / [(1 + 4^a)(1 + 4^b)]
> 0 ∵ 2^a < 2^b, 2^(a+b) > 1
3. f(x)=x+b 在[-1,1]上恒有实数解, 即下面三个方程中至少有一个有解。
（1） x ∈ (0,1], f(x) = 2^x / ( 1 + 4^x) = x + b ①
f(x) 单减，且 -1 < f(x) ≤ -2/5 , x+b 单增， x+b ∈ (b, 1+b]
=> b < 1, 1+b ≥ 2/5 => -3/5 ≤ b < 1
（2） x ∈[-1,0), 2^x / ( 1 + 4^x) = x + b ②
f(x) 单增，且 2/5 ≤ f(x) < 1 , x+b 单增， x+b ∈ ( -1+b, b]
=> -1+b ≤ - 2/5, b > -1 => -1 < b ≤ 3/5
（3） x = 0, 0 = x + b ③
=> b = 0
于是：-1 < b < 1