Question

已知圆O的半径为1，PA,PB为该圆的两条切线，AB为切点。那么向量PA点乘向量PB的最小值为？

Answer 1

这是2010年高考题全国卷里的一道选择题。

【解法一】
设PA=PB=X（x＞0），∠APO=α，
则∠APB=2α，由勾股定理得PO=根号（1+x^2），
sinα=1/根号（1+x^2），
向量PA•向量PB=|PA|•|PB|cos2α=x^2（1-2sin^2α）={x^2（x^2-1）}/(1+x^2)
=（x^4-x^2）/（1+x^2），
令向量PA•向量PB=y，
则y==（x^4-x^2）/（1+x^2），
即x^4-（1+y）x^2-y=0，
由于x^2是实数∴△={-（1+y）}^2-4×1×（-y）≥0，
y^2+6y+1≥0
解得y≤-2√2-3或y≥-3+2√2

x^2＞0，设x^2=t,
方程x^4-（1+y）x^2-y=0可以化为t^2-（1+y）t-y=0,
根据韦达定理得：t1+t2=1+y,t1t2=-y,
当y≤-2√2-3时，t1+t2<0, t1t2>0,
这时t1，t2都是负值，因为x^2=t>0,所以不合题意，舍去。
当y≥-3+2√2时，t1+t2>0, t1t2>0,
这时t1，t2都是正值，符合题意。

故（向量PA•向量PB）min=-3+2√2

【解法二】
以圆心为坐标原点建立直角坐标系：
可以先把图作出，那么PA向量*PB向量=PA*PB*cosθ
连接OP（O即是原点，也是圆的圆心）
那么sin（θ/2）=1/PO
∴cosθ=1-2（sin（θ/2））^2=1-2/PO^2
∴PA向量*PB向量=2-PA*PB
又∵PA*PB=PO^2-OA^2=PO^2-1
∴PA向量*PB向量=（PO^2-1）*（1-2/PO^2）=PO^2+2/PO^2-3
用基本不等式：当PO=二的四分之一次方时，（PA向量*PB向量）min=-3+2根号2