Question

已知平面内一动点P到F（1，0）的距离与P点到y轴的距离的差等于1，求动点P的轨迹方程

（2）过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线L1，L2，设L1与轨迹C相交于点A，B，L2与轨迹C相交与点D，E，求AD向量×ED向量的最小值

Answer 1

1)焦点F(1,0) 准线 x=0 O(0,0)
抛物线顶点Mx=(Fx+0)/2=1/2
p/2=1-1/2=1/2
2p=2
y^2=2(x-1/2)

或者直接
√[(x-1)^2+y^2]=x
y^2-2x+1=0

2
过F直线AB：y=k(x-1)
直线DE: y=(-1/k)(x-1)
k^2(x-1)^2-2x+1=0
k^2x^2-(2k^2+2)x+(1+k^2)=0
Ax+Bx=(2k^2+2)/k^2 Ay+By=(2k^2+2)/k-k=(k^2+2)/k
向量AB ((2k^2+2)/k^2 ,(k^2+2)/k)
(x-1)^2/k^2 -2x+1=0
(1/k^2)x^2-(2/k^2+2)x+1+1/k^2=0
Dx+Ex=(2/k^2+2)/(1/k^2)=(2k^2+2)
Dy+Ey=(2k^2+2)*(-1/k)+1/k
=-(k^2+2)/k
向量DE（(2k^2+2), -(k^2+2)/k )
向量AB*DE=(2k^2+2)^2/k^2-(k^2+2)^2/k^2
=(3k^2+4)

追问

中间Ay+By=(2k^2+2)/k-k=(k^2+2)/k怎么来的

追答

抱歉，这里误算
Ay=kAx-k
By=kBx-k
Ay+By=k(Ax+Bx)-2k=(2k^2+2)/k-2k=2/k

Dy=-Dx/k+1/k
Ey=-Ex/k+1/k
Dy+Ey= -(Dx+Ex)/k+2/k=-2/k

向量AB*DE=(2k^2+2)^2/k^2-4/k^2
=4k^2+8